Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Febrero, 2016, 19:04

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Veamos hoy de demostrar algo simple, básico, ya conocido y demostrado por Euclides. Como tenemos pocos elementos desarrollados, la demostración que veremos no es directa, tendremos que demostrar un lema antes.

Queremos demostrar que, siendo p un número primo, a y b enteros, entonces, si p divide al producto ab, entonces o bien divide al factor a, o al factor b. Es algo que parece evidente, pero como todo en matemáticas, mejor demostrarlo.

Antes de llegar demostremos el lema, para p primo natural, no hay números naturales r, s tales:

Y que sean menores que p:


Pues, si hubiera números r, s con esas cualidades, tal vez varios o infinitos pares, tomemos el par r, s que haga que su producto rs sea el menor posible. Entonces, tomemos r, y de todos los pares de números v, t que cumplen:

Tomemos el par con el menor t positivo. Podemos ver que este conjunto de pares es no vacío, que tiene al menos un par con t positivo:

Y entonces, por propiedad de los conjuntos de números positivos, HAY UNO QUE ES EL MENOR. Todo esto lo tenemos que hacer de esta manera, para mostrar explícitamente que existe ese par. Pero podemos también apelar a un resultado del primer post, que implica que siempre existe:

Con

Multipliquemos p por s, queda:

O sea, que p divide a:

Pero tenemos que p divide a rs, queda que p divide a:

Pero como

Entonces

Siendo ts divisible por p, CONTRA LO SUPUESTO. Llegamos a una contradicción. Entonces, no existe el rs pedido.

Habiendo probado este lema, pasemos a demostrar que si:

Entonces

O

Probémoslo por el absurdo. Supongamos que:

Y

Esto es

Y

Donde d, f son no nulos, positivos, y menores que p. Multiplicamos, y obtenemos:

Sabemos que p divide a ab, entonces

Entonces p divide a:

Pero por el lema anterior, esto es imposible. Si p no divide ni a ni b, llegamos a contracción. Entonces, p divide al factor a o bien p divide al factor b.

Ha sido una demostración algo larga. Podríamos tomar otro camino, pero hubiéramos necesitado otros conceptos y resultados que no hemos tratado todavía como el máximo común divisor y sus propiedades. Tal vez más adelante volvamos a demostrar el resultado de hoy usando esos otros desarrollos. Ver, por ejemplo, otro camino en el libro Stein W.-Elementary number theory and elliptic curves.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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