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Marzo del 2016
Publicado el
30 de Marzo, 2016, 5:43
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Publicado el
29 de Marzo, 2016, 6:37
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Publicado el
27 de Marzo, 2016, 8:03
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En el post … habíamos llegado a la expresión:
Con p y q de distinta paridad (uno impar y otro par). Demostramos ahí que pueden ocurrir dos casos:
Es decir, son primos entre sí, o bien
Tienen factor común al 3.
Vayamos hoy por el primer caso. Los dos factores de z al cubo:
y
NO TIENEN factores comunes. Entonces, cada uno de ellos es un cubo perfecto. Veámoslo. Si el primo k divide a uno de los factores, digamos:
Entonces p divide a z al cubo:
Como k es primo, se tiene entonces que que también divide a z:
Y queda que:
Como ese factor p no puede estar en el otro factor:
Entonces, aparece al menos como potencia cúbica en el primer factor:
Eso para cualquier primo de este factor. Queda que cada primo aparece como potencia 3 o múltiplo de 3, quedando:
Para algún entero s. Por el mismo razonamiento (algo largo pero elemental) llegaríamos a:
Ahora bien. Vimos en los anteriores posts qué interesante puede ser considerar:
Es una identidad fascinante. De hecho, da una pauta de cómo pueden ser todos los números que son suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Algo que no pasó desapercibido ni para Fermat ni para Euler. Es un tema interesante por sí mismo, pero quedará para otra oportunidad. (ver mientras tanto p = x2 + y2 )
Sin embargo, ese camino no está exento de problemas. Ya estuvimos examinado la raíz de la cuestión: Euler presupuso la factorización única de factores primos en ese nuevo sistema de números que incluye a la raíz cuadrada de menos 3. Y eso no es verdad. Luego volveremos a tratar de solucionar esta otra prueba, usando otro campo de números más sutil que el planteado originalmente por Euler.
Veamos otro camino, que apela a números enteros solamente. Como p y q tienen distinta paridad, el factor:
Es impar. Tratemos de descomponerlo en factores impares. Podríamos pensar en que su raíz cúbica tiene la misma forma:
No es un camino descabellado. Pero no es fácil de probar. Lo que podemos probar primero es que un factor así PUEDE ser la raíz cúbica pedida. Luego, más adelante, probaremos que TODO FACTOR primo de nuestro cubo perfecto TIENE esa forma necesariamente.
Veamos hoy un lema que nos va a ayudar, y que era conocido por Euler: la multiplicación de dos polinomios de la forma a2+3b2 da como resultado un polinomio de la misma forma. Esto es notablemente similar a otro resultado que apareción en este blog: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da suma de dos cuadrados.
Multipliquemos dos polinomios de esa forma:
Tenemos la esperanza de separar este resultado en la suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Respiremos hondo, sumemos y restemos la combinación adecuada de abcd, y reordenemos:
MILAGRO! Obtenemos un polinomio de la misma forma: la suma de un cuadrado y del triple de un cuadrado.
Esto nos dice que no es impensable que sea posible:
Pero todavía falta camino para llegar a eso necesariamente. El lema nos dice que pueden existir c y d, pero no dice que NECESARIAMENTE existan. Eso es lo que nos falta probar.
Veamos un camino para justificar un poco el "milagro" de arriba (es casi seguro que este camino es el que inspiró a Euler):
Reordenando:
El producto de los dos primeros factores es el conjugado complejo del producto de los dos últimos factores, como es de esperar, da un resultado real. Calculemos el primero de esos números:
Poniendo:
Queda
Es decir, queda el lema que habíamos demostrado más arriba: la forma a2+3b2 se conserva por multiplicaciones.
Tarea para el hogar: conseguir otras formas que se conservan así.
La demostración del lema sin apelar a números complejos la encontré en:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/fermats-last-theorem-n-3.html
A su vez, ese lema es usado para demostrar el "key lemma" en el post:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html
Para demostrar el "key lemma" ese post usa también un lema más poderoso que tenemos que estudiar:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-a2-3b2.html
Ver la cadena de posts:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-1.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-2.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-3.html (éste es el que usa el "key lemma")
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-4.html
Donde todo se engarza desde:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
25 de Marzo, 2016, 7:57
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Siempre hasta ahora hemos manejado magnitudes físicas de espectro discreto: sus valores posibles forman un conjunto numerable (finito o infinito). La existencia de ese tipo de magnitudes es uno de los grandes descubrimientos de la teoría cuántica. Ya se vislumbraba en el siglo XIX que los espectros de emisión de muchos átomos y moléculas simples seguían un patrón discreto, contrariamente a lo que uno espera de una fuente de luz. Estamos acostumbrados a la luz del sol, que en el arco iris se distribuye de forma continua.
Pues en el ambiente cuántico hay magnitudes que no toman valores continuos, sino discretos. Uno de los primeros ejemplos ha sido el modelo atómico de Bohr, donde las órbitas de los electrones sólo podían tomar algunos valores específicos. Cuando se desarrolló la primera mecánica cuántica, uno de los logros tanto del modelo de Heisenberg como del de Schrödinger fue explicar esa distribución discreta, aunque sea en los átomos más simples, como el de hidrógeno. En ese átomo, la energía de un electrón ligado sólo puede tomar algunos valores (es interesante recordar que Schrödinger llegó a su teoría, tomando el camino de explicar esos valores como autovalores de una función).
Pero cuando consideramos la energía de un electrón no ligado a un núcleo atómico, sus valores pueden ser continuos. Así tenemos un ejemplo de magnitud física que tiene ambos espectros, continuo y discreto.
Cuando una magnitud puede tomar valores discretos, pudimos expresar una función de estado como combinación lineal de autofunciones:
Pasando al espectro discreto, y haciendo "magia" matemática, sólo justificada por su aplicación física, podemos expresar una función de estado, como una integral que recorre:
Pongo explícitamente q como las coordenadas que puede tomar la función de estado, para destacar que esta función recorre y depende de esas coordenadas. Los
Mas que coeficientes, son funciones del parámetro f, que toma valores continuos (antes usábamos valores naturales). Y las "autofunciones" ahora son:
Una función base por CADA valor de f. Por analogía, podemos seguir haciendo "magia" matemática (sin justificación firme) y tomar los coeficientes como:
Tenemos que explorar el significado físico de estas expresiones, y aparecerán relaciones con desarrollos de Fourier, y más analogías con nuestro trabajo anterior en valores discretos. Ya no podemos tomar los coeficientes af como probabilidad, sino que tendremos que hablar de probabilidad de tal valor entre f y f+df. Pero eso lo veremos en los próximos posts.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
24 de Marzo, 2016, 15:32
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Publicado el
23 de Marzo, 2016, 6:46
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A los matemáticos les gusta mostrar demostraciones de lo que afirman. Si bien hay encanto en simplemente explorar un tema, y enunciar resultados interesantes, llega el momento donde los demás pedirán una demostración. Ha quedado en la historia como ejemplo de enunciados con demostración el monumental Elementos, de Euclides. Desde los antiguos griegos, se persigue ese ideal: demostrar enunciados verdaderos, partiendo de un conjunto (generalmente pequeño) de axiomas, nociones y reglas de inferencia.
Examinemos lo enumarado recién. Un enunciado es una afirmación (o negación, otra forma si quiere verse de afirmar algo). No es cualquier sentencia, como "hola". Son enunciados que expresan relaciones entre los conceptos de la rama matemática que se esté examinando. Por ejemplo: "todos los triángulos con un ángulo igual y dos lados iguales, son iguales". Si bien se afirma con lenguaje humano, los matemáticos han sabido formar un lenguaje más formal para afirmar enunciados. Por ejemplo, tenemos que estar seguros de qué es un "triángulo", qué es un "ángulo", qué es un "lado", y qué signifca eso de "un ángulo igual a otro" y lo mismo para los lados. Cuestiones que parecen sencillas, no lo son tanto, y merecen mayor atención.
Notablemente, lo que parecía evidente, los axiomas que tomó Euclides, como los únicos posibles, se vió en el siglo XIX que no era la única geometría "válidad". Se describieron geometrías no euclideanas, que se apartaban de las nociones de sentido común, pero tan "verdaderas" como la original, pues eran territorios matemáticos consistentes.
Luego, tenemos el concepto de enunciado verdadero. Acá, verdad se usa en sentido matemático: lo que se afirma ¿realmente ocurre en el mundo matemático que estamos tratando? Por ejemplo, el enunciado "todo número par es la suma de dos primos" (la famosa conjetura de Goldbach), ¿es verdad? Si pudiéramos examinar todos los pares de un solo golpe, si tuviéramos la capacidad de ver en un momento todas las sumas de pares de primos, y viéramos que no hay número par que no pueda ser expresado de esa forma, sabríamos que el enunciado es verdadero. Pero aún sin esas notables capacidades, los matemáticos saben algo: o es verdadero o es falso. Lo que no tienen hoy, es una demostración de la falsedad o verdad del enunciado. Entonces, se dice, todavía no es un teorema demostrado, sólo una conjetura. Lo que podemos rescatar de este ejemplo, es que el concepto de "verdad" en matemática es más firme y claro que el mismo concepto en los asuntos humanos. Una vez bien definidos los conceptos y relaciones, se sabe cómo mostrar que es verdadero o falso. En el caso de la conjetura de Goldbach, dando para cada par una suma de dos primos que lo de como resultado, o mostrando un contra ejemplo. El problema no es mostrar, sino demostrar: dar una serie de pasos, que partiendo de otros enunciados (axiomas o teoremas demostrados) llegar al enunciado destino, demostrándolo o refutándolo. Ese es el gran juego de las matemáticas.
Uno podría esperar que todo sistema matemático que se ocupe de un área, por ejemplo, de la teoría de números o de la geometría, pueda generar demostraciones para todos los ENUNCIADOS verdaderos. Otra cualidad que se espera, es que no genere nunca un enunciado FALSO. Tendremos que ir examinando de cuales tipos de sistemas matemáticos se ocupa el teorema de Gödel (todavía no lo enunciamos, pero en el fondo son DOS teoremas). Y qué afirma sobre estas cualidades esperables de esos sistemas. De alguna forma, el resultado de Gödel derriba la esperanza puesta en algunos sistemas. Tanto el resultado como la demostración son notables. Pero tampoco hay que sacar conclusiones exageradas. Iremos paso a paso, para realmente apreciar su trabajo, aprender de lógica matemática y fundamentos de matemáticas, y saber sopesar en justa medida las consecuencias de sus teoremas.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
22 de Marzo, 2016, 6:05
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Publicado el
20 de Marzo, 2016, 15:31
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Consideremos hoy una expresión como:
Es una expresión algo rara. Conocemos:
Que es el producto interno de un bra:
con un ket:
Pero ¿qué el "producto" de un ket por un bra? Solamente tiene sentido si le damos alguno. Definamos su aplicación SOBRE un vector ket cualquiera como:
Esto es, en la expresión de más a la derecha, el factor entre paréntesis es un escalar. El resultado total de "aplicar" la expresión inicial a un vector ket, es otro vector ket. Ya sabemos cómo se llama esto: es un operador. Y su aplicación a CUALQUIER vector ket queda totalmente definido por la fórmula de arriba. Le hemos dado un significado concreto. Lo llamamos el producto externo (contrariamente al productor interno de bra y key, que da escalar) de un bra y un ket.
Inicialmente, pensé que este producto externo poco tenía que aportar a la teoría de la transformación. Pero veremos, a medida que vayamos avanzando, que tiene su importancia. Por ahora, baste notar una cosa: sea un operador dado por el producto externo de un ket y un bra, el resultado de aplicarlo sobre un vector ket ES SIEMPRE un múltiplo del vector ket original. De alguna forma, PROYECTA todo vector ket en un subespacio generador por ese vector ket.
Agregemos hoy una propiedad no esperada (al menos para mí) de un operador lineal. Recordemos que una base ortonormal es un conjunto de vectores:
Tales que son ortogonales dos a dos:
Y todo vector puede expresarse como combinación lineal de elementos de este conjunto base. Entonces, es interesante considerar para un operador lineal A cualquiera, su traza, definida como:
La traza es un escalar. Lo notable es que este valor, la traza de A, ES INDEPENDIENTE DE LA BASE ORTONORMAL que se tome. Veremos una demostración en el próximo post.
Pero lo que dice ahí, desde el punto de vista físico, es que hay algo en un operador (el valor de su traza) que permanece invariable ante cambios en la base ortonormal de vectores. Esto nos da una pista: la traza de un operador tiene un significado físico.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
19 de Marzo, 2016, 14:49
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Publicado el
17 de Marzo, 2016, 5:54
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Publicado el
16 de Marzo, 2016, 5:47
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Es notoriamente difícil contestar a la pregunta de esta serie de posts: ¿de qué tratan las matemáticas? Por lo menos, no hay una respuesta corta. Un intento de respuesta es enumerar las principales ramas.
La primera gran división es: álgebra, geometría y análisis. Las tres tienen una larga historia, pero hay que reconocer que la que tiene más peso histórico es la geometría, gracias a los avances en la antigua Grecia. Es con los Elementos de Euclides donde el pensamiento matemático griego alcanza la madurez y algo más. Y aunque hay ahí temas de teoría de números, es la geometría la que se lleva la palma. Para los griegos, el resolver problemas numéricos no parece haber llamado la atención, y quedan relegados a ciencias prácticas, como la astronomía.
En álgebra, encontramos operaciones con números Y VARIABLES. Eso es la novedad del tema: no solamente operar con números concretos, sino también con variables indeterminadas. No siempre quedaron explícitas esas variables: nuestra notación actual, con sus equis e y-griegas, sólo apareció hace unos siglos.
El análisis, con un gran antecesor en Arquímedes, sólo floreció con la llegada del cálculo infinitesimal, de la mano de Newton y Leibnitz, pero también de otros, que hicieron de esta rama de las matemáticas una de las más fructíferas, gracias a su relación con temas aplicados de física. Hasta podríamos decir que la geometría pura quedó relegada, ante el avance del álgebra y del análisis.
Pero las matemáticas no se agotan en estas tres ramas. La teoría de números es un caso que se deriva si consideramos solamente números enteros. Y hay grandes extensiones de esta rama, si consideramos otros "enteros", como los enteros algebraicos y los enteros de Gauss. Las estructuras, como grupo y anillo, surgieron a partir del siglo XIX, pero vieron su esplendor en el siglo XX, donde sentaron las bases de generalizaciones que van más allá de la simple álgebra de números y variables. De alguna forma, en el siglo XX el álgebra y la geometría se reconcialiaron, al manejar estructuras que involucran a conceptos de ambas ramas. La topología puede considerarse por un lado, extensión de un análisis sin métrica pero con continuidad. Por otro lado, como extensión del álgebra, en el caso de las estructuras de la topología algebraica.
Y claro que hay todavía más ramas para explorar, como la probabilidad, la teoría de categorías, la lógica matemática.
Otras respuestas, que vamos a explorar, se basan en mostrar qué tipos de cuestiones resuelven las matemáticas. Esto también es interesante: a veces, al estudiar los problemas, surgen que dos áreas aparentemente alejadas de las matemáticas, se interesan en las mismas cuestiones y respuestas. Esto ha ido pasando a través de la historia de las disciplinas, y es notable encontrar relaciones entre áreas que al principio parecen muy distintas.
Siguientes posts: álgebra vs geometría, álgebra vs análisis, y después, sí, comentar algo de cada gran rama actual de las matemáticas, hasta llegar a las cuestiones que se tratan de resolver.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
15 de Marzo, 2016, 6:07
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Cuando alguien menciona matemáticas, muchas personas imaginan que se trata de números y operaciones sobre números. Pero es mucho más que eso: las matemáticas abarcan estructuras y relaciones que van mucho más allá de los números. Podemos mencionar la geometría como una rama de las matemáticas donde los números apenas si aparecen. Pero en los últimos siglos se han ido sumando más especímenes matemáticos que apenas recuerdan a los números.
Sin embargo, los números siguen jugando un papel importante. Todos conocemos los números naturales, como 1, 2, y demás. Se tuvieron que "inventar" los números negativos para que expresiones como 2 menos 5 tuvieran "sentido". La historia de la aparición de los números negativos es notable, si hasta el siglo XIX matemáticos negaban su "existencia", considerándolos soluciones a problemas mal planteados.
Los números racionales nacen, de similar manera, para poder operar con expresiones como 2 divido 3. Y finalmente, los reales completaron los números a los que estamos acostumbrados, llenando "espacios" que los racionales no llenaban. Es clásico el descubrimiento pitagórico de que la raíz cuadrada de 2 no puede expresarse por ninguna razón entre números naturales. Los racionales "no bastan" para llenar la recta.
Menos conocidos, para el público en general, son los números complejos. Ver:
Números Complejos
Gauss y la Importancia de los Números Complejos
y su notable aparición en física:
Números Complejos en Mecánica Cuántica
La Ecuación de Schrodinger (10) Un Comentario sobre Números Complejos
(en realidad, es notable, en retrospectiva, la aparición de números reales en la física; hoy, quizás, haya que revisar su adecuación a la realidad última, en vista de los modelos cuánticos).
Los números complejos tardaron siglos en aparecer en el desarrollo matemático, y su aparición se debió a la necesidad de encontrar soluciones a ecuaciones como:
Se fue viendo, a lo largo de los años, que era conveniente y fructífero considerar que la ecuación de arriba tenía una solución (la raíz cuadrada de menos uno), que considerar que no tenía ninguna. Es más, aún ecuaciones como:
O como:
Tienen soluciones en números complejos. No necesitamos más que los números complejos para conseguir todas las soluciones de este tipo de ecuaciones en una variable. Es un resultado fundamental del álgebra, que fue alcanzado con bastante trabajo, y varias demostraciones no triviales, algunas incompletas.
De alguna forma, todos esperamos que un sistema de números posea algunas propiedades. Dos números se deben poder sumar, y el resultado debe ser un número del mismo sistema. Dos números se debe poder multiplicar, y el resultado debe ser un número del mismo sistema.
Si agregamos la operación de resta (inversa de la suma) sólo a partir de los números enteros tenemos asegurada la existencia de solución. Y si agregamos la operación de división (inversa de la multiplicación) debemos apelar a por lo menos los números racionales para asegurar la existencia de solución. De alguna forma, estos sistemas de números están encajados unos en otros, como muñecas rusas.
Pero cabe preguntarse: ¿hay otros sistemas de números? Si los hay, ¿cumplen con todas las características que les pedimos a los sistemas más conocidos?
Veremos en esta serie de posts que hay otros sistemas de números, pero a veces, hay que abandonar algunas de las propiedades comunes. Es notable que existan sistemas de números donde no se cumple la conmutatividad de la multiplicación, y otros donde no se cumpla la asociatividad. O que haya sistemas de números que cumplan con todo lo esperado, pero que sean más grandes que los racionales y menos que los reales.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
14 de Marzo, 2016, 5:44
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Ya había anticipado el tema de esta serie de post, en La fórmula multiplicativa de la indicatriz. En el primer post, mencioné a la función indicatriz de Euler, vieja conocida de este blog, ver también La función indicatriz de Euler, Calculando la función indicatriz de Euler, Una propiedad de la indicatriz de Euler.
Veamos hoy de seguir con el tema de funciones multiplicativas, pero usando como ejemplo a la función indicatriz. Hay una propiedad interesante que pueden tener. Si dos números n, m son primos entre sí:
Es decir, tienen máximo común divisor igual a uno. Entonces si se cumple para la función aritmética f:
Entonces se dice que es función multiplicativa. Sólo se exige esta propiedad cuando los números m, n son primos entre sí.
La función indicatriz es multiplicativa, y algo de la demostración estaba en los posts mencionados. Veamos de de mostrarla de nuevo, de otra manera.
Sabemos que cuando p es primo, entonces:
¿Cuál es el valor de la indicatriz para una potencia de p? Sea que queremos calcular:
En este casos, los que NO son primos con palfa son:
Que si los contamos, son 1 de cada p números:
Restando del total de números, los que son no primos con palfa, nos queda la cantidad de los que SI SON PRIMOS:
Esto nos sirve como preliminar para encarar la demostración de la propiedad multiplicativa.
Veamos otra propiedad más general que nos va a ayudar. Si sabemos que dos números son primos entre sí:
Entonces también se cumple:
Y en general, para cualquier k:
En particular, tomemos a m = np, como un múltiplo de un primo p:
Entonces:
Es decir, si tomamos los números de 1 a m = np:
Algunos serán primos con m y otros no. Pero si ponemos los números de 1 a 2m:
El patrón de números primos se repite. Para fijar ideas, sea m = 3*2. Los números:
Tienen algunos que son primos con 6 (marcados con un asterisco). Si los repetimos hasta llegar a doce:
El patrón de asteriscos ES EL MISMO, el 1 y el 5, se "repiten" en el 7 y el 11. Se "repiten" los primos con 6, pero no aparecen nuevos. Y no aparecen nuevos, pues si:
Entonces
Y como p divide a m, también se tiene:
Y se sigue
Es decir, que en este caso, cuando a un número a con asterisco se le suma m, dando a+m, sigue con asterisco, y si no tiene, tampoco lo tiene el nuevo a+m.
Es interesante ver cómo el máximo común divisor se "mantiene" en 1 o en mayor que 1, por más que se cambie m por mp, o mpp, o mppp, o por más que se sume km cualquiera. Todo esto siempre que m sea divisible por p.
En el próximo post veremos qué pasa si m no es divisible por p, cuál es la fórmula para la cantidad de números primos con mp.
En próximos post seguimos con propiedades de las funciones aritméticas, como ¿habrá otras funciones multiplicativas? ¿será la función de Moebius multiplicativa? ¿qué otras propiedades tiene la función indicatriz? Veremos que hay también funciones COMPLETAMENTE multiplicativas, y funciones aditivas. Ver
Arithmetic function
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
13 de Marzo, 2016, 14:44
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El libro "Sobre la libertad" de John Stuart Mill es uno de esas obras a las que cada tantos años vuelvo. Quisiera comenzar hoy algunos comentarios sobre las ideas de Mill. Recordemos: éste fue un filósofo inglés que vivió en el siglo XIX (nació en 1806, murió en 1873). Además de filósofo, fue economista, feminista, y empleado civil. Su influencia es variada: algunas de sus ideas quedaron en el camino, mejoradas por otras, pero las relacionadas con la obra que hoy nos ocupa parecen haber merecido una mayor atención, aún en nuestros días.
Antes de la introducción, Mill coloca esta frase de Guillermo de Humbold:
El gran principio, el principio dominante, al que conducen los argumentos expuestos en estas páginas, es la importancia esencial y absoluta del desenvolvimiento humano, en su más rica diversidad.
(De la esfera y los deberes del Gobierno)
Eso son los dos puntos que tenemos que tener en la mira, cuando vayamos avanzando en las ideas de Mill: el "desenvolvimiento humano", y "su más rica diversidad". Para Mill, el desarrollo de la humanidad, como sociedad o sociedades, se ve impulsado por la conservación y defensa de la diversidad individual. Es una gran postura que toma, y debe ser uno de los primeros que la presenta tan expresamente. Mucho de la defensa de la individualidad que hoy vemos en muchas denuestras sociedades (aún no hay una "sociedad humana" general), tiene su origen en Mill y sus defensores.
En la introducción que sigue a esta cita, Mill se explaya sobre la historia de las sociedades humanas, desde la opresión de unos pocos sobre varios, hasta la llegada de la democracia. Entonces, él ve un tema que no se había tratado hasta entonces: se pensaba que como la democracia es el gobierno del pueblo, éste no ejerce una influencia negativa sobre sus propios intereses. Pero Mill pone en juego al individuo: llama la atención sobre que un individuo puede ser castigado por su conducta, ya sea por medios legales o por medio de la condena social. Y que no siempre ese castigo es justificado. Leamos un párrafo de la introducción donde se plantea todo el esquema de la obra:
El objeto de este ensayo es afirmar un sencillo principio destinado a regir absolutamente las relaciones de la sociedad con el individuo en lo que tengan de compulsión o control, ya sean los medios empleados la fuerza física en forma de penalidades legales o la coacción moral de la opinión pública. Este principio consiste en afirmar que el único fin por el cual es justificable que la humanidad, individual o colectivamente, se entremeta en la libertad de acción de uno cualquiera de sus miembros, en la propia protección. Que la única finalidad por la cual el poder puede, con pleno derecho, ser ejercido sobre un miembro de una comunidad civilizada contra su voluntad, es evitar que perjudique a los demás. Su propio bien, físico o moral, no es justificación suficiente. Nadie puede ser obligado justificadamente a realizar o no realizar determinados actos, porque eso fuera mejor para él, porque le haría feliz, porque, en opinión de los demás, hacerlo sería más acertado o más justo. Estas son buenas razones para discutir, razonar y persuadirle, pero no para obligarle o causarle algún perjuicio si obra de manera diferente. Para justificar esto sería preciso pensar que la conducta de la que se trata de disuadirle producía un perjuicio a algún otro. La única parte de la conducta de cada uno por la que él es responsable ante la sociedad es la que se refiere a los demás. En la parte que le concierne meramente a él, su independencia es, de derecho, absoluta. Sobre sí mismo, sobre su propio cuerpo y espíritu, el individuo es soberano.
Esta serie de posts no se limitará sólo a esta obra, pero ella será el punto central. También veremos la educación de Mill recibida directamente de su padre, la influencia de su esposa, el tiempo que le tocó vivir, sus ideas socialistas, su feminismo, el utilitarismo.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
10 de Marzo, 2016, 6:37
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Publicado el
8 de Marzo, 2016, 5:49
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Temas interesantes, como el error de Euler en Fermat n = 3, una demostración fallida de la hipótesis de Riemman. En el trabajo de Riemman, pero primero en el de Dirichlet, aparecen los caracteres en grupos abelianos. Hay más artículos sobre el tema "gap" entre primos. Los números pentagonales aparecen en lo que estoy investigando de particiones de números.
Character theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Character_theory
Selberg sieve - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_sieve
Legendre's conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_conjecture
Prime gap - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_gap
Sieve theory - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_theory
Elliott–Halberstam conjecture - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Elliott%E2%80%93Halberstam_conjecture
Yitang Zhang - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang
Introducción a la Teoría Analítica de Números
http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/teoria_analitica_de_numeros/index.html
New largest prime number found
http://phys.org/news/2016-01-largest-prime.html
Fermat's Last Theorem: Euler's Mistake
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/eulers-mistake.html
The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof : Nature News & Comment
http://www.nature.com/news/the-biggest-mystery-in-mathematics-shinichi-mochizuki-and-the-impenetrable-proof-1.18509
Riemann Hypothesis not proved | The Aperiodical
http://aperiodical.com/2015/11/riemann-hypothesis-not-proved/
[math/0505373] On the remarkable properties of the pentagonal numbers
http://arxiv.org/abs/math/0505373
Wiles' proof of Fermat's Last Theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Wiles%27_proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem
Proof of Fermat's Last Theorem for specific exponents - Wikipedia, the free encyclopedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents
Math Forum - Ask Dr. Math
http://mathforum.org/library/drmath/view/51546.html
Open Problems That Might Be Easy | Gödel's Lost Letter and P=NP
https://rjlipton.wordpress.com/2015/09/03/open-problems-that-might-be-easy/
Elementary Number Theory
http://wstein.org/ent/ent.pdf
What is number theory? - HowStuffWorks
http://science.howstuffworks.com/math-concepts/number-theory.htm
Journal of Number Theory - Elsevier
http://www.journals.elsevier.com/journal-of-number-theory/
Elementary Number Theory
http://wstein.org/ent/
International Journal of Number Theory (World Scientific)
http://www.worldscientific.com/worldscinet/ijnt
An Introduction to Number Theory : nrich.maths.org
http://nrich.maths.org/4352
NUMBER THEORY WEB
http://www.numbertheory.org/
Mis Enlaces
http://delicious.com/ajlopez/numbertheory
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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http://twitter.com/ajlopez
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Publicado el
5 de Marzo, 2016, 17:04
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Inicio hoy una serie de posts sobre un tema que siempre vuelve a mi radar: el resultado de Kurt Gödel sobre la incompletitud de algunos sistemas de axiomas. Es uno de esos temas que siempre se tratan en obras de divulgación, pero hasta ahí: muchas veces sin demostración rigurosa, salteando el lenguaje necesario para realmente comprender lo que hizo Godel, y estirando los resultados a zonas fueras de la matemática, dando campo fértil para el sin-sentido o la analogía sin freno.
Comienzo hoy citando un párrafo del comienzo de mi fuente principal, el excelente libro "Gödel para todos", de Guillermo Martinez y Gustavo Piñeiro (mi intención es apenas pasar en limpio para mí en esta serie de posts lo que vaya aprendiendo de ese libro):
El Teorema de Incompletitud de Gödel es uno de los resultados más profundos y paradójicos de la lógica matemática. Es también, quizás, el teorema que ha ejercido más fascinación en ámbitos alejados de las ciencias exactas. Ha sido citado en disciplinas tan diversas como la semiótica y el psicoanálisis, la filosofía y las ciencias políticas. Autores como Kristeva, Lacan, Debray, Deleuze, Lyotard, y muchos otros, han invocado a Gödel y sus teoremas en arriesgadas analogías. Junto con otras palabras mágias de la escena posmoderna como "caos", "fractal", "indeterminación", "aleatoriedad", el fenómeno de incompletitud se ha asociado también a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas. Pero, también, desde el interiore de la ciencia se escrime el Teorema de Gödel en agudas controversias epistemológicas, como la que rodea las discusiones sobre inteligencia artificial. Surgido casi a la par de la Teoría de la Relatividad, y de manera quizás más sigilosa, el Teorema de Gödel se ha convertido en una pieza fundamental y una referencia ineludible del pensamiento contemporáneo.
Me apresuro a afirmar que mi postura es que el Teorema de Gödel se ha ido tomando para "el churrete", como se dice acá en Argentina, es decir, que se lo ha estirado para soportar cualquier cosa, sin mayor fundamento. Lo que me interesa en esta serie de post es mostrar y deleitarme en las ideas poderosas de Gödel, en un ámbito, la lógica matemática, que no es habitual en mis curiosidades. Y espero poder transmitirles parte de esa elegancia y sorpresa que rodea a la demostración (hay varias demostraciones, todas de alguna forma comparten esas cualidades).
Pero también se juegan cuestiones matemáticas que espero comentar, como el contexto histórico de la aparición del resultado de Gödel, la aparición de las geometrías no euclideanas, la teoría de conjuntos, las paradojas lógias que habían comenzado a aparecer en lógica matemática, el formalismo de Hilbert, el intuicionismo de Bower, y más.
Otras fuentes a consultar:
"Gödel, los teoremas de incompletitud", biografía de Gustavo Ernesto Piñeiro.
"Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein.
Y la primera vez que me encontré con el trabajo de Gödel, en el artículo clásico del Scientific American: "El teorema de Gödel", de Ernst Nagel y James Newman, luego publicado varias veces y extendido como libro.
Y el libro de cabecera de cualquier "geek" que se precie: "Gödel, Escher y Bach, un eterno y grácil bucle" de Douglas Hofstadter.
Ya apareció Gödel en este blog en:
Gödel, Einstein y la constitución americana
Abstracción y Matemáticas, según Von Neumann
Gödel y Einstein en Princeton
Física y Matemáticas, según Einstein
La biografía de Gödel escrita por Gustavo Ernesto Piñeiro apareción mencionada en:
Bertrand Russell, Smith y el Papa
Series de Fourier, Heine y Cantor
Visitar el blog de Guillermo Martinez: http://guillermomartinezweb.blogspot.com.ar/
Y el de Piñeiro: http://eltopologico.blogspot.com.ar/
Ver What is Godel's Theorem?
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
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Publicado el
3 de Marzo, 2016, 5:52
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Ya llegamos al tercer mes del año. Tiempo de escribir las nuevas resoluciones, y repasar las del mes anterior:
- Continuar escribiendo sobre FinTech [pendiente]
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Particiones de Números [pendiente]
- Continuar mi serie sobre lagrangianos y hamiltonianos [pendiente]
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]
Además escribí sobre:
Teoría de Números (3)
Simetrías y Física (5)
Polinomios Primitivos (2)
Mis nuevas resoluciones:
- Continuar escribiendo sobre FinTech
- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de números
- Continuar mi serie sobre primos expresables como suma de cuadrados
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Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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