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Inicio hoy una serie de posts sobre un tema que siempre vuelve a mi radar: el resultado de Kurt Gödel sobre la incompletitud de algunos sistemas de axiomas. Es uno de esos temas que siempre se tratan en obras de divulgación, pero hasta ahí: muchas veces sin demostración rigurosa, salteando el lenguaje necesario para realmente comprender lo que hizo Godel, y estirando los resultados a zonas fueras de la matemática, dando campo fértil para el sin-sentido o la analogía sin freno.

Comienzo hoy citando un párrafo del comienzo de mi fuente principal, el excelente libro "Gödel para todos", de Guillermo Martinez y Gustavo Piñeiro (mi intención es apenas pasar en limpio para mí en esta serie de posts lo que vaya aprendiendo de ese libro):

El Teorema de Incompletitud de Gödel es uno de los resultados más profundos y paradójicos de la lógica matemática. Es también, quizás, el teorema que ha ejercido más fascinación en ámbitos alejados de las ciencias exactas. Ha sido citado en disciplinas tan diversas como la semiótica y el psicoanálisis, la filosofía y las ciencias políticas. Autores como Kristeva, Lacan, Debray, Deleuze, Lyotard, y muchos otros, han invocado a Gödel y sus teoremas en arriesgadas analogías. Junto con otras palabras mágias de la escena posmoderna como "caos", "fractal", "indeterminación", "aleatoriedad", el fenómeno de incompletitud se ha asociado también a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas. Pero, también, desde el interiore de la ciencia se escrime el Teorema de Gödel en agudas controversias epistemológicas, como la que rodea las discusiones sobre inteligencia artificial. Surgido casi a la par de la Teoría de la Relatividad, y de manera quizás más sigilosa, el Teorema de Gödel se ha convertido en una pieza fundamental y una referencia ineludible del pensamiento contemporáneo.

Me apresuro a afirmar que mi postura es que el Teorema de Gödel se ha ido tomando para "el churrete", como se dice acá en Argentina, es decir, que se lo ha estirado para soportar cualquier cosa, sin mayor fundamento. Lo que me interesa en esta serie de post es mostrar y deleitarme en las ideas poderosas de Gödel, en un ámbito, la lógica matemática, que no es habitual en mis curiosidades. Y espero poder transmitirles parte de esa elegancia y sorpresa que rodea a la demostración (hay varias demostraciones, todas de alguna forma comparten esas cualidades).

Pero también se juegan cuestiones matemáticas que espero comentar, como el contexto histórico de la aparición del resultado de Gödel, la aparición de las geometrías no euclideanas, la teoría de conjuntos, las paradojas lógias que habían comenzado a aparecer en lógica matemática, el formalismo de Hilbert, el intuicionismo de Bower, y más.

Otras fuentes a consultar:

"Gödel, los teoremas de incompletitud", biografía de Gustavo Ernesto Piñeiro.
"Gödel, paradoja y vida" de Rebecca Goldstein.
Y la primera vez que me encontré con el trabajo de Gödel, en el artículo clásico del Scientific American: "El teorema de Gödel", de Ernst Nagel y James Newman, luego publicado varias veces y extendido como libro.
Y el libro de cabecera de cualquier "geek" que se precie: "Gödel, Escher y Bach, un eterno y grácil bucle" de Douglas Hofstadter.

Ya apareció Gödel en este blog en:

Gödel, Einstein y la constitución americana
Abstracción y Matemáticas, según Von Neumann
Gödel y Einstein en Princeton
Física y Matemáticas, según Einstein

La biografía de Gödel escrita por Gustavo Ernesto Piñeiro apareción mencionada en:

Bertrand Russell, Smith y el Papa
Series de Fourier, Heine y Cantor

Visitar el blog de Guillermo Martinez: http://guillermomartinezweb.blogspot.com.ar/
Y el de Piñeiro: http://eltopologico.blogspot.com.ar/

Ver What is Godel's Theorem?

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez