Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Marzo, 2016, 15:31

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Consideremos hoy una expresión como:

Es una expresión algo rara. Conocemos:

Que es el producto interno de un bra:

con un ket:

Pero ¿qué el "producto" de un ket por un bra? Solamente tiene sentido si le damos alguno. Definamos su aplicación SOBRE  un vector ket cualquiera como:

Esto es, en la expresión de más a la derecha, el factor entre paréntesis es un escalar. El resultado total de "aplicar" la expresión inicial a un vector ket, es otro vector ket. Ya sabemos cómo se llama esto: es un operador. Y su aplicación a CUALQUIER vector ket queda totalmente definido por la fórmula de arriba. Le hemos dado un significado concreto. Lo llamamos el producto externo (contrariamente al productor interno de bra y key, que da escalar) de un bra y un ket.

Inicialmente, pensé que este producto externo poco tenía que aportar a la teoría de la transformación. Pero veremos, a medida que vayamos avanzando, que tiene su importancia. Por ahora, baste notar una cosa: sea un operador dado por el producto externo de un ket y un bra, el resultado de aplicarlo sobre un vector ket ES SIEMPRE un múltiplo del vector ket original. De alguna forma, PROYECTA todo vector ket en un subespacio generador por ese vector ket.

Agregemos hoy una propiedad no esperada (al menos para mí) de un operador lineal. Recordemos que una base ortonormal es un conjunto de vectores:

Tales que son ortogonales dos a dos:

Y todo vector puede expresarse como combinación lineal de elementos de este conjunto base. Entonces, es interesante considerar para un operador lineal A cualquiera, su traza, definida como:

La traza es un escalar. Lo notable es que este valor, la traza de A, ES INDEPENDIENTE DE LA BASE ORTONORMAL que se tome. Veremos una demostración en el próximo post.

Pero lo que dice ahí, desde el punto de vista físico, es que hay algo en un operador (el valor de su traza) que permanece invariable ante cambios en la base ortonormal de vectores. Esto nos da una pista: la traza de un operador tiene un significado físico.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia