Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 27 de Marzo, 2016, 8:03

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En el post … habíamos llegado a la expresión:

Con p y q de distinta paridad (uno impar y otro par). Demostramos ahí que pueden ocurrir dos casos:

Es decir, son primos entre sí, o bien

Tienen factor común al 3.

Vayamos hoy por el primer caso. Los dos factores de z al cubo:

y

NO TIENEN factores comunes. Entonces, cada uno de ellos es un cubo perfecto. Veámoslo. Si el primo k divide a uno de los factores, digamos:

Entonces p divide a z al cubo:

Como k es primo, se tiene entonces que que también divide a z:

Y queda que:

Como ese factor p no puede estar en el otro factor:

Entonces, aparece al menos como potencia cúbica en el primer factor:

Eso para cualquier primo de este factor. Queda que cada primo aparece como potencia 3 o múltiplo de 3, quedando:

Para algún entero s. Por el mismo razonamiento (algo largo pero elemental) llegaríamos a:

Ahora bien. Vimos en los anteriores posts qué interesante puede ser considerar:

Es una identidad fascinante. De hecho, da una pauta de cómo pueden ser todos los números que son suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Algo que no pasó desapercibido ni para Fermat ni para Euler. Es un tema interesante por sí mismo, pero quedará para otra oportunidad. (ver mientras tanto p = x2 + y2 )

Sin embargo, ese camino no está exento de problemas. Ya estuvimos examinado la raíz de la cuestión: Euler presupuso la factorización única de factores primos en ese nuevo sistema de números que incluye a la raíz cuadrada de menos 3. Y eso no es verdad. Luego volveremos a tratar de solucionar esta otra prueba, usando otro campo de números más sutil que el planteado originalmente por Euler.

Veamos otro camino, que apela a números enteros solamente. Como p y q tienen distinta paridad, el factor:

Es impar. Tratemos de descomponerlo en factores impares. Podríamos pensar en que su raíz cúbica tiene la misma forma:

No es un camino descabellado. Pero no es fácil de probar. Lo que podemos probar primero es que un factor así PUEDE ser la raíz cúbica pedida. Luego, más adelante, probaremos que TODO FACTOR primo de nuestro cubo perfecto TIENE esa forma necesariamente.

Veamos hoy un lema que nos va a ayudar, y que era conocido por Euler: la multiplicación de dos polinomios de la forma a2+3b2 da como resultado un polinomio de la misma forma. Esto es notablemente similar a otro resultado que apareción en este blog: la multiplicación de dos sumas de cuadrados, da suma de dos cuadrados.

Multipliquemos dos polinomios de esa forma:


Tenemos la esperanza de separar este resultado en la suma de un cuadrado y el triple de un cuadrado. Respiremos hondo, sumemos y restemos la combinación adecuada de abcd, y reordenemos:



MILAGRO! Obtenemos un polinomio de la misma forma: la suma de un cuadrado y del triple de un cuadrado.
Esto nos dice que no es impensable que sea posible:

Pero todavía falta camino para llegar a eso necesariamente. El lema nos dice que pueden existir c y d, pero no dice que NECESARIAMENTE existan. Eso es lo que nos falta probar.

Veamos un camino para justificar un poco el "milagro" de arriba (es casi seguro que este camino es el que inspiró a Euler):



Reordenando:

El producto de los dos primeros factores es el conjugado complejo del producto de los dos últimos factores, como es de esperar, da un resultado real. Calculemos el primero de esos números:

Poniendo:


Queda




Es decir, queda el lema que habíamos demostrado más arriba: la forma a2+3b2 se conserva por multiplicaciones.

Tarea para el hogar: conseguir otras formas que se conservan así.

La demostración del lema sin apelar a números complejos la encontré en:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/06/fermats-last-theorem-n-3.html

A su vez, ese lema es usado para demostrar el "key lemma" en el post:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-key-lemma.html

Para demostrar el "key lemma" ese post usa también un lema más poderoso que tenemos que estudiar:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-a2-3b2.html

Ver la cadena de posts:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-1.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-2.html
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-3.html (éste es el que usa el "key lemma")
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-n-3-step-4.html

Donde todo se engarza desde:
http://fermatslasttheorem.blogspot.com.ar/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez