Publicado el 31 de Mayo, 2016, 6:15
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En el anterior post vimos una propiedad importante de los números primos. Ver también mi serie: Números primos. Hoy veremos una proposición simple, pero donde usaremos por primera vez el principio de inducción (con más precisión, una de sus formas). La proposición es: todo número natural es producto de números primos. Es sencilla la demostración, si aplicamos inducción. Primero, suponemos:
Es claro que no hay primos que lo dividan, podemos decir que es el producto vacío de primos, considerando que el uno no es un primo. Luego consideramos:
Y por inducción, suponemos que todos los números naturales menores que n son factorizables en primos. Para n mayor que uno hay dos caminos:
Por definición de primo, no tiene divisores primos más que él mismo. Es el producto de un solo primo, n mismo. El otro camino, que sea compuesto, con por lo menos dos factores, naturales, mayores que 1:
Estamos manejando naturales, lo que implica que a y b no pueden ser mayores o iguales que n. Por hipótesis de inducción, son productos de primos. Entonces, el propio n es un producto de primos. Este es un resultado simple, pero que muestra el trabajo de una demostración. Muchas veces tenemos propiedades "evidentes", pero aún así, en algún momento tenemos que luchar por la demostración. Matemáticas no es sólo demostración: ésta se encuentra solamente como uno de los pasos en el viaje matemático. Gran parte de las matemáticas es imaginación, poder creativo, darse cuenta de patrones y relaciones. Pero siempre es importante volver al rigor, y cualquier cosa que se proponga, tratar de encontrar la demostración adecuada. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 29 de Mayo, 2016, 15:37
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Sigamos explorando la formulación matemática del espectro continuo. En el anterior post, por analogía a las sumatorias del caso discreto, llegamos a las integrales:
Para expresar cualquier función de onda de las coordenadas, donde los coeficientes son:
Recordemos: los coeficientes af ahora dependen de f, son como funciones a(f). Y por cada autovalor f posible en el espectro continuo, hay una autofunción:
De nuevo, aun una autofunción asociada a cada autovalor f. Para que estas relaciones integrales se cumplan, basta con la condición:
Donde delta es la "función" de Dirac. Pongo función entre paréntesis porque tiene propiedades que no pueden asimilarse a una función normal. Fue recién a mediados del siglo pasado que pudo incorporarse formalmente a los conceptos matemáticos. Esa función vale 0 para un argumento distinto de 0, y vale infinito su argumento igual a cero, pero con la condición:
Es un aporte original de Dirac. La idea es que esta función, sobre un rango infinito de valores reales, da siempre 0, excepto para el origen. Combinada en la integral anterior, es la forma de expresar la "ortogonalidad" de dos autofunciones de onda: su multiplicación integral da 0, si son distintas, da 1 si son iguales. Con esta nueva relación, desarrollemos:
Vean que el "f interior" al integral, quedo como f" (f prima) para diferenciarla da la "f exterior". Se sigue
Como se quería demostrar. Este es nuestro primer encuentro con la función de Dirac. Resulta como "paso al límite" de las condiciones de ortogonalidad que teníamos para las autofunciones en el caso discreto. Lo importante ahora es que tenemos una base matemática para tratar el caso discreto y el continuo. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 28 de Mayo, 2016, 19:29
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Hay una clase de operadores muy importante en física cuántica. Ya vimos los operadores adjuntos en el post. Recordemos, el operador adjunto de un operador cumple:
Para cualquier par de vectores. Hay operadores que son igual a su adjunto, es decir, que cumplen:
Se llaman operadores autoadjuntos. Tambien se los llama hermíticos, como a las matrices hermíticas donde se cumple:
Justamente, porque cuando un operador autoadjunto puede expresarse como una matriz (lo que no siempre pasa, hay espacios de dimensiones infinitas), sus matrices son hermíticas. Hay un notable teorema, que permite identificar operadores hermíticos. Si se cumple
Para todos los vectores psi, entonces se sigue que:
Para todos los pares de vectores, y entonces el operador A es hermítico. Para demostrarlo observemos que si:
Para valores a, b y vectores phi1, phi2 cualesquiera, entonces desarrollando:
Pero se sabe que:
Si seguimos desarrollando queda:
Pero esto, por hipótesis es igual a su propio conjugado:
Entonces es un valor real. Los dos primeros términos de la suma son también reales, porque por hipótesis tanto
Como
Son reales, y sus factores, los valores absolutos de a y b son también reales. Veamos los dos últimos términos:
Tomando a=b=1, queda:
Tomando a=1, b=i (la raíz de menos uno), tenemos:
Sacando i de esta ecuación y sumándola con la anterior, obtenemos:
Que es lo que queríamos demostrar. Escribí que este teorema es notable, porque partiendo de una condición particular logra demostrar una condición más general. Esto es parte de la magia de usar números complejos: no existe un teorema similar si empleamos coeficientes reales. Los números complejos tienen una estructura que permite que este tipo de relaciones aparezca. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 24 de Mayo, 2016, 5:40
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Investigando algunos temas, esta semana me topé con el libro "A Course in Point Set Topology" de John B Conway, matemático americano, dedicado al análisis funcional. Tengo que estudiar ese tema, porque cada vez más va a aparecer en algunos posts que estoy escribiendo, como Matemáticas y Física Cuántica. Es interesante compartir por qué Conway escribe un libro sobre Topología General. He aquí la explicación, al comienzo del prefacio:
Es una forma muy interesante de estudiar matemáticas, y ya me he encontrado más de una vez con algún profesor que adopta este camino para un estudiante brillante. Más adelante Conwayexplica las elecciones de contenido de este libro. Me gusta como plantea los temas, de lo particular a lo general:
Y toma una curiosa decisión en el último capítulo: concentranrse en las aplicaciones continuas antes que en las propiedades del espacio en estudio:
Tengo que estudiar alguna parte, especialmente Espacios Métricos, para lo que estoy escribiendo. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 21 de Mayo, 2016, 7:01
Publicado el 20 de Mayo, 2016, 6:02
Publicado el 18 de Mayo, 2016, 7:13
Publicado el 15 de Mayo, 2016, 6:50
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Hoy comienzo una serie de un tema matemático que aparece en varias de mis lecturas, relacionado con otros temas como operadores funcionales. Es el tema de espacios métricos. Tiene relación con lo que estoy escribiendo en mi serie Topología General: de alguna forma, los espacios métricos son los "predecesores" de los espacios topológicos. Ambos se ocupan de conjuntos de elementos dando importancia a la "proximidad" de a pares. Pero mientras que en espacios topológicos esa proximidad se expresa en el sistema de entornos, y éstos se encuentran por el uso de los conjuntos abiertos de la topología, en los espacios métricos nos encontramos con la distancia entre dos "puntos" como el concepto base que permite construir los conjuntos cercanos de puntos. A esos elementos los llamamos "puntos" simplemente por una analogía geométrico: los primeros ejemplos de espacios métricos que todos manejamos tienen una realización geométrica. Pero la gran motivación para el desarrollo de los espacios métricos se dio en el siglo XIX con otros conjuntos, notablemente relacionados con funciones. Ya llegaremos a ver esos ejemplos y aplicaciones. Comencemos viendo la definición. Llamamos espacio métrico a un par, un conjunto X, y una función real, no negativa, definida entre dos puntos:
Tal que cumple los siguientes condiciones:
La segunda condición es el axioma de simetría. Y la tercera condición es el axioma triangular. A esta función la llamaremos "métrica". También es común llamarla "distancia", justamente por su similitud con las distancias en geometría. Vemos que no basta con dar el conjunto X: hay casos donde sobre un mismo conjunto de base se pueden definir distintas métricas, que cumplen con las condiciones dadas. Por eso el espacio métrico R es:
Siempre un par: un conjunto y una métrica. En el próximo post veremos los primeros ejemplos de espacios métricos. Mi principal fuente para esta serie es el excelente clásico "Elementos de la Teoría de Funciones y Análisis Funcional", de Kolgomorov y Fomin. Tengo una edición de editorial Mir. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 14 de Mayo, 2016, 7:06
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Hace unos años, mencioné en un post al libro de Hermann Weyl, muy conocido, The Theory of Groups and Quantum Mechanics. Hoy lo vuelvo a leer, y encuentro este fragmento al principio, que quiero comentar y compartir:
Es interesante notar como contrapone el desarrollo algebraico con el geométrico. Agregaría que el desarrollo algebraico, incluso de la geometría, tuvo un gran impulso con Descartes, y sus coordenadas cartesianas, que llevó el álgebra al estudio de curvas y otros elementos en el plano y en el espacio. También es interesante destacar cómo menciona a la aplicación de los números reales a la física, pero que no necesariamente es el camino a seguir. La aparición de la no conmutatividad y las cantidades no continuas ha hecho replantear los métodos matemáticos aplicados a la física moderna. Hasta la aplicación de los números complejos es relativamente moderna (ver Números Complejos en Mecánica Cuántica, La Ecuación de Schrödinger (10) Un Comentario Sobre Números Complejos). Podemos encontrar la revindicación de la geometría en la obra física de Penrose (leer "el Penrose"). Y las teorías de la relatividad de Einstein vuelven a poner la geometría, sin sistemas de coordenadas de base, y las simetrías, como fundamental en la comprensión de los fenómenos físicos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 13 de Mayo, 2016, 6:22
Publicado el 7 de Mayo, 2016, 16:52
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Ya comenzó un nuevo mes, tiempo de escribir las nuevas resoluciones, y repasar el resultado de las del mes anterior: - Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente] Estuve bastante ocupado en temas profesionales, pero me di en cambio tiempo para escribir: Richard Feynman estudiando cuántica Para este mes mis resoluciones son: - Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat De nuevo, un plan ambicioso, pero interesante. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 6 de Mayo, 2016, 6:16
Publicado el 4 de Mayo, 2016, 5:31
Publicado el 1 de Mayo, 2016, 7:47
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Veamos hoy de demostrar la invarianza de la traza de un operador ante un cambio de base. La demostración de este post se limitará a base finita, digamos, de n vectores ortonormales. En este caso, recordemos que para operador lineal A se tiene:
Es un número, dado dos elementos de la base en consideración. Es decir, en esa base, nuestro operador se puede representar como una matriz de números. Nunca lo vimos, pero se tiene entonces que:
Esto lleva a expresar la traza que presentamos en el anterior post como:
Como los Aij son números, se pueden "mover hacia la izquierda" y los bra se pueden "juntar" con los ket:
Como los vectores son ortonormales, cuando j es distinto de i el producto de ambos es cero, y cuando j es igual a i, el producto es 1. Queda que la traza es:
Es un poco largo, pero sencillo, demostrar entonces que el producto de operadores:
Tiene entonces una matriz (siempre tomando una base fijada de antemano para expresar las tres matrices):
La traza de C es:
De forma similar, se ve que:
Pero ambas dobles sumas SON LA MISMA SUMA, entonces queda:
Que es una importante propiedad de la traza. Sabiendo este resultado, y conociendo la asociatividad de operadores, vemos que la traza es invariante antes cambios del tipo:
Pues queda:
Y se sigue:
¿Cuándo se da una transformación así? Cuando cambiamos de base ortonormal. El operador P se puede ver como cambio de base. De nuevo, es una demostración larga pero sencilla, que nos lleva a enunciar: la traza del operador A es invariante ante cambios de base. Hay que tener cuidado ahora en distinguir el operador A, de su expresión como matriz A EN UNA BASE DADA. Y si queremos expresar la traza para una base infinita numerable, hay que estudiar la convergencia de la suma infinita. Si tenemos una base infinita no numerable, supongo que habrá que estudiar la convergencia de una integral. Veremos esos casos llegado el momento. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
