Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 28 de Mayo, 2016, 19:29

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Hay una clase de operadores muy importante en física cuántica. Ya vimos los operadores adjuntos en el post. Recordemos, el operador adjunto de un operador cumple:

Para cualquier par de vectores. Hay operadores que son igual a su adjunto, es decir, que cumplen:

Se llaman operadores autoadjuntos. Tambien se los llama hermíticos, como a las matrices hermíticas donde se cumple:

Justamente, porque cuando un operador autoadjunto puede expresarse como una matriz (lo que no siempre pasa, hay espacios de dimensiones infinitas), sus matrices son hermíticas.

Hay un notable teorema, que permite identificar operadores hermíticos. Si se cumple

Para todos los vectores psi, entonces se sigue que:

Para todos los pares de vectores, y entonces el operador A es hermítico. Para demostrarlo observemos que si:

Para valores a, b y vectores phi1, phi2 cualesquiera, entonces desarrollando:

Pero se sabe que:

Si seguimos desarrollando queda:


Pero esto, por hipótesis es igual a su propio conjugado:

Entonces es un valor real. Los dos primeros términos de la suma son también reales, porque por hipótesis tanto

Como

Son reales, y sus factores, los valores absolutos de a y b son también reales. Veamos los dos últimos términos:

Tomando a=b=1, queda:

Tomando a=1, b=i (la raíz de menos uno), tenemos:

Sacando i de esta ecuación y sumándola con la anterior, obtenemos:

Que es lo que queríamos demostrar.

Escribí que este teorema es notable, porque partiendo de una condición particular logra demostrar una condición más general. Esto es parte de la magia de usar números complejos: no existe un teorema similar si empleamos coeficientes reales. Los números complejos tienen una estructura que permite que este tipo de relaciones aparezca.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia