Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 29 de Mayo, 2016, 15:37

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Sigamos explorando la formulación matemática del espectro continuo. En el anterior post, por analogía a las sumatorias del caso discreto, llegamos a las integrales:

Para expresar cualquier función de onda de las coordenadas, donde los coeficientes son:

Recordemos: los coeficientes af ahora dependen de f, son como funciones a(f). Y por cada autovalor f posible en el espectro continuo, hay una autofunción:

De nuevo, aun una autofunción asociada a cada autovalor f.

Para que estas relaciones integrales se cumplan, basta con la condición:

Donde delta es la "función" de Dirac. Pongo función entre paréntesis porque tiene propiedades que no pueden asimilarse a una función normal. Fue recién a mediados del siglo pasado que pudo incorporarse formalmente a los conceptos matemáticos. Esa función vale 0 para un argumento distinto de 0, y vale infinito su argumento igual a cero, pero con la condición:

Es un aporte original de Dirac. La idea es que esta función, sobre un rango infinito de valores reales, da siempre 0, excepto para el origen.  Combinada en la integral anterior, es la forma de expresar la "ortogonalidad" de dos autofunciones de onda: su multiplicación integral da 0, si son distintas, da 1 si son iguales. Con esta nueva relación, desarrollemos:


Vean que el "f interior" al integral, quedo como f" (f prima) para diferenciarla da la "f exterior". Se sigue

Como se quería demostrar.

Este es nuestro primer encuentro con la función de Dirac. Resulta como "paso al límite" de las condiciones de ortogonalidad que teníamos para las autofunciones en el caso discreto. Lo importante ahora es que tenemos una base matemática para tratar el caso discreto y el continuo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia