Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 31 de Mayo, 2016, 6:15

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En el anterior post vimos una propiedad importante de los números primos. Ver también mi serie: Números primos.

Hoy veremos una proposición simple, pero donde usaremos por primera vez el principio de inducción (con más precisión, una de sus formas). La proposición es: todo número natural es producto de números primos.

Es sencilla la demostración, si aplicamos inducción. Primero, suponemos:

Es claro que no hay primos que lo dividan, podemos decir que es el producto vacío de primos, considerando que el uno no es un primo.

Luego consideramos:

Y por inducción, suponemos que todos los números naturales menores que n son factorizables en primos. Para n mayor que uno hay dos caminos:

Por definición de primo, no tiene divisores primos más que él mismo. Es el producto de un solo primo, n mismo.

El otro camino, que sea compuesto, con por lo menos dos factores, naturales, mayores que 1:

Estamos manejando naturales, lo que implica que a y b no pueden ser mayores o iguales que n. Por hipótesis de inducción, son productos de primos. Entonces, el propio n es un producto de primos.

Este es un resultado simple, pero que muestra el trabajo de una demostración. Muchas veces tenemos propiedades "evidentes", pero aún así, en algún momento tenemos que luchar por la demostración. Matemáticas no es sólo demostración: ésta se encuentra solamente como uno de los pasos en el viaje matemático. Gran parte de las matemáticas es imaginación, poder creativo, darse cuenta de patrones y relaciones. Pero siempre es importante volver al rigor, y cualquier cosa que se proponga, tratar de encontrar la demostración adecuada.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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