Publicado el 28 de Junio, 2016, 0:25
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En el post anterior había quedado pendiente terminar con el capítulo 3: Chapter 3: Prime Elements and Unique Factorization Domains (Continuación) El gran tema que sigue es la discusión de los DFU (Dominios de Factorización Unica) en el contexto de los dominio de integridad cualesquiera. Digo que es un gran tema, porque no es evidente que existan dominios que NO sean de factorización única. Y además tiene su importancia en la historia de las matemáticas: la demostración fallida del teorema de Fermat de Kummer (en el siglo XIX) era notable, pero se fundaba en que el anillo generado por las raíces complejas p-ésimas de la unidad era un DFU, que sólo se cumple hasta p < 19. Este capítulo también menciona brevemente esto. Recordemos, un DFU D es un dominio de integridad D (esto es, sin divisores de cero, anillo conmutativo, con unidad, y 1 <> 0), cuando para cualquier elemento d, se cumple: d es 0, d es unidad, o d tiene una factorización única en primos. Y recordemos que p es primo si cada vez que p divide al producto ab, entonces se cumple p divide a a, o p divide a b (esto es algo que cambia un poco el concepto de primo que tenemos de los números naturales; aca no se habla de sus divisores, sino de lo que en los enteros sería el lema de Euclides; los elementos sin divisores asociados se llaman irreducibles). Sea un dominio de integridad R. Mencionan cuatro propiedades: A: por cada elemento a no unidad hay factores irreducibles q1, q2, ... qr tales que a = q1q2..qr A': por cada elemento a no unidad hay factores primos p1, p2, ... p3 tales que a = p1p2..pr B: toda serie de irreducibles q1,q2,..., qr y serie q'1, q'2,.... q'r tales que sean iguales sus multiplicaciones q1q2...qr = q'1q'2...q'r tienen cantidad iguales de elementos y sólo difieren en su orden C: todo irreducible es primo Entonces demuestran que R es DFU si y sólo si: 1) R satisface A y B Para mí, es un resultado notable, no trivial, que pone de manifiesto las relaciones entre irreducibles y primos. Se cumple también que si R es un DFU, entonces hay infinitos primos. Todo R que sea un dominio de ideales principales (es decir, todo ideal de R es generado por un solo elemento), entonces R es un DFU. Para probar esto, también prueban que si en R, cada cadena ascendente, por inclusión, de ideales de R es estacionaria (es decir, si a partir de un elemento de la cadena, todos los siguientes son iguales), entonces R es un DFU. Consideran el anillo de los polinomios F[x] sobre un campo F, y demuestran que también es un DFU. Para esto, muestran que en F[x] existe un algoritmo de división. Llegados a este punto, se menciona la norma en un anillo, como forma de implementar un algoritmo de división. Los anillos con norma se llaman anillos euclideanos (curiosamente, mencionan también como anillos noetherianos a los que cumplen con la condición de toda cadena ascendente de ideales es estacionaria; debe ser equivalente a otra condición de los anillos noetherianos: que todo ideal sea generado por una cantidad finita de elementos). Armados del algoritmo de división para dominios con norma, demuestran que esos dominios son dominios de ideales principales (ideales generados por un solo elemento) y entonces son DFUs. Es un hermoso camino, no trivial pero tampoco con grandes dificultades. Entonces se deriva que los a+ib con a, b enteros (los enteros de Gauss, con i la raíz imaginaria) tienen norma, y entonces, forman un DFU. No todo primo en Z es primo en Z[i]. Los primos en Z[i] se llaman primos gaussianos. Los primos en Z se llaman primos racionales. Incluso los enteros de Z se llaman enteros racionales para no confundirlos con enteros de otros dominios. Por ejemplo, el primo racional 29 NO ES primo gaussiano: 29 = (5+2i)(5-2i). Si nos fijamos bien en esto, se ve que todo primo racional que es suma de dos cuadrados enteros NO ES primo gaussiano. Ya Fermat demostró que esos primos son TODOS los de la forma 4m+1. Que curioso, vean cómo todo se va conectando en matemáticas, de Fermat a Gauss y de vuelta... Ha sido un largo capítulo, pero con resultados muy interesantes. Ver también: Gaussian integer Ver también Donde se muestra una interesante relación de inclusión, ejemplo, todo dominio euclídeo es dominio de ideales principales, y todo dominio de ideales principales es DFU. Curiosamente hay DFUs QUE NO SON dominios de ideales principales y entonces, tampoco son dominios con norma. El caso más destacable es R[x] con R DFU, que no es dominio de ideales principales en general, a no ser que R sea un campo. Este artículo también muestra resultados modernos sobre condiciones suficientes para ser un DFU. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 27 de Junio, 2016, 14:24
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Sigo comentando este libro con tantos temas interesantes, que ponen bastante en perspectiva las estructuras matemáticas más comunes. Chapter 3: Prime Elements and Unique Factorization Domains En el segundo capítulo se vió que Z es un dominio de ideales principales, y no sólo eso, sino también que sus dominios primos eran maximales. Muchas de las propiedades de Z se encuentran en otros anillos, pero no todas. Es interesante ver esa diferencia. Una propiedad muy característica de Z es que los enteros se factorizan en primos de una forma única. Pues es una gran sorpresa (por lo menos para mí no evidente) que no todos los anillos tienen esta propiedad, aún los anillos compuestos por números. Uno tal vez lo podría esperar de anillos de matrices o de polinomios o de anillos más complicados. Pero el llamado "teorema fundamental de la aritmética" no siempre se cumple en cualquier anillo. Los anillos que lo cumplen se llaman DFU (dominios de factorización única). En este capítulo se demuestra el teorema fundamental de la aritmética. Se pone como punto de partida de la teoría clásica de números a la divisibilidad (propiedad definible en todos los anillos, a divide a b, si existe c tal que ac = b). Se presenta el algoritmo de división entre los enteros. Dado este algoritmo, se puede demostrar la existencia del máximo común divisor entre los enteros. De nuevo, apelando al algoritmo de división, es posible usar el algoritmo de Euclides para encontrar ese máximo común divisor. Se demuestra también el importante lema de Euclides, si p es primo y divide a ab, entonces divide a a, o divide a b. Dado todo esto, es posible llegar al teorema fundamental de la aritmética. Hay demostración de la infinitud de primos. Pero el giro importante que hace el capítulo es ir más allá de los enteros. Habiendo enunciado todos estos lemas y propiedades de Z, examina qué se puede hacer en un anillo dominio de integridad cualquiera. De nuevo, parte de la divisibilidad. Se llama unidad a en R, a cualquier a que tenga un b tal que ab = 1. Y lo nuevo: la definición de primo para un dominio de integridad. Se dice p es primo, cuando p divide a ab, implica que p divide a a o p divide a b. Esto es distinto de lo que usualmente consideramos como primo. Mientras esta propiedad es el lema de Euclides para primos en Z, acá es la DEFINICION de primo. Para los elementos de R que no pueden descomponerse en otros elementos y que tampoco son unidades, se les dice irreducibles. Es decir, c es irreducible si no es unidad, y no existen a,b tales que ab = c. Finalmente, a y b se llaman asociados si existe unidad e tal que a = eb. Se ve fácil que es una relación de equivalencia. Notablemente hay dominios de integridad donde hay elementos irreducibles que no son primos. Un concepto importante para mostrar esto, es el de norma, que permite dar cuenta del "tamaño" de un número en un sistema no ordenado como el de los complejos. Es notable que haya esta diferencia entre primos e irreducibles en algunos dominios de integridad. Lo que sí se cumple, es que todo elemento primo es irreducible. Los elementos primos p de R hacen del ideal pR un ideal primo. Y un tema no evidente: p es irreducible si y sólo si pR es ideal maximal entre los ideales principales de R. Todo esto último permite llegar a la equivalencia de primos e irreducibles en los anillos que sólo tienen ideales principales. Es ahí donde se puede asegurar que todo primo si y sólo si es irreducible. Continuaré con el comentario de este interesante capítulo en próximo post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 26 de Junio, 2016, 15:27
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Sigo comentado este libro. Comienzo hoy con una enumeración de los temas por capítulo. Chapter 1: Groups, Rings and Fields En realidad, presenta primero anillos, como estructura, luego campos (lo que para nosotros, con libros en español, serían cuerpos conmutativos), dominios de integridad (anillo conmutativo con unidad 1 <> 0, y sin divisores de cero), campo (anillo conmutativo con unidad distinta de cero, y donde cada elemento distinto de cero es una unidad, es decir, tiene inverso). Hay resultados básicos como Zp es dominio de integridad si y sólo si p es primo, y todo dominio de integridad finito es un campo. Luego aparecen subanillos, y una estructura importante, los ideales. Dado un ideal I del anillo R, se puede armar el anillo cociente R/I, teniendo bien definidas las operaciones de suma y producto en los elementos (conjuntos) de R/I. Se describen los homomorfismos, núcleo e imagen de homorfismo. Y se trata el importante cuerpo de fracciones de un anillo, que nos lleva a extender cualquier anillo a "puntos" cercanos a un punto, como pasa cuando pasamos de los enteros a los racionales. Se define campo primo como un campo que no tiene subcampos no triviales. Notablemente, todo campo tiene un campo primo. Cuando en un anillo conmutativo, sumar n veces la unidad da cero, entonces n es la característica del anillo. Todo anillo tiene característica 0, o tiene característica número primo. Lo mismo con los campos. Finalmente, se presentan los grupos y sus primeras propiedades. Chapter 2: Maximal and Prime Ideals La estructura de ideales es una de las más fructíferas del álgebra moderna. En este capítulo se presenta y discuten las propiedades de los ideales maximales, ideales no triviales de un anillo R, que no tienen un ideal no trivial que los contenga. Como en muchas ocasiones van a aparecer cadenas "crecientes" de ideales, es importante conocer la existencia de ideales maximales. Un ideal es primo, si ab pertenece a I, entonces a pertenece a I, o b pertenece a I. Es una generalización de la principal propiedad de los números primos naturales. Vean que no se apela a ver si un ideal se puede descomponer en otros, eso dará lugar a un concepto distinto en el reino de los ideales, los ideales irreducibles. Si I es ideal primo, entonces el anillo cociente R/I es un dominio de integridad y viceversa. Si I es ideal maximal en un anillo conmutativo con unidad distinto de cero, entonces R/I es un campo. Hay ideales que pueden ser generados por un conjunto de elementos. Si el conjunto es de un solo elemento, I se llama ideal principal. Un dominio de ideales principales es un dominio de integridad donde todos sus ideales son principales, es decir, son generados por un solo elemento. Notablemente, Z es un dominio de ideales principales. Por hoy suficiente, son varios temas a estudiar y repasar. Espero seguir con los siguientes capítulos en los próximos posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 22 de Junio, 2016, 6:47
Publicado el 20 de Junio, 2016, 18:58
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Estoy estudiando varios temas de matemáticas, y he topado con el muy buen libro "Abstract Algebra" de Celine Carstensen, Benjamin Fine, y Gerhard Rosenberg. Es un libro que toca muchos temas que me interesan. Leo hoy:
Ellos dividen en:
Los orígenes, por un lado la teoría de números:
Por otro, la resolución de ecuaciones:
Y aparece la geometría algebraica:
Y cómo olvidar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:
En los próximos post, espero describri los contenidos de sus capítulos Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 18 de Junio, 2016, 15:16
Publicado el 15 de Junio, 2016, 6:15
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Sean dos números naturales cualquiera, a y b. Entonces existen números únicos naturales q, r tales que:
Cumpliendo:
Examinemos el conjunto de pares q, r que cumplen la primera condición. Si a < b, entonces se cumple:
Y q=0, r=a. Si a >= b entonces se cumple:
Y q=1, r=a-b. Tenemos entonces que el conjunto de los pares q, r no es vacío. Tomemos los valores de los r, que son naturales. Por propiedad de los conjuntos de números naturales, hay un valor que es el mínimo. Sea ese valor r >= b, con a=qb+4. Pero entonces:
Y q+1, r-b también existe, y r-b < r que era el mínimo, contrariamente a lo supuesto. Esto demuestra que, al existir el mínimo r natural tal que a = qb + r, éste es 0 <= r < b, como se quería demostrar. Es una interesante propiedad, conocida como el algoritmo de división. Vean que no usamos primos: es algo de los números naturales. Fácilmente se puede extender a los enteros, obteniendo un resto r que sea menor o igual en valor absoluto al valor absoluto de b. Veremos en próximo post, cómo este algoritmo permite establecer el máximo común divisor de a y b, y de nuevo llegaremos a probar que si el número p primo divide al producto de dos números cualesquiera ab, entonces divide al número a o divide al número b. En anterior post vimos la demostración de esta importante propiedad de los números primos. En otras estructuras, es prácticamente LA DEFINICION de algo primo, pero por ahora estamos explorando los números naturales y enteros. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 14 de Junio, 2016, 5:40
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Uno de los libros de matemáticas que estuve leyendo en este tiempo, es el "Abstract Algebra, Structure and Application" de David R. Finston y Patrick J. Morandi, editado por Springer. Es un libro que se adentra en algunos conceptos de álgebra abstracta, pero siempre teniendo a la vista alguna aplicación concreta. Esto hace que sea interesante de leer, y una buena introducción a temas más especializados o más matemáticos/abstractos. Quiero describir brevemente su contenido. Capítulo 1: Identification Numbers and Modular Arithmetic Donde describen algunos números como los códigos ZIP de EE.UU., el Universal Product Code, los International Standard Book Numbers. Esto sirve para introducir la aritmética modular, y la detección de errores en esos números. Capítulo 2: Error Correcting Codes Expande el tema del anterior capítulo, introduciendo la eliminación gaussiana en la resolución de matrices y sistemas de ecuaciones, y los primeros espacios vectoriales. Aparecen los códigos de Hamming para corregir errores. Para encontrar más fácilmente el error en un código, discuten el co-conjunto (coset) de decodificación, y síndromes. Es interesante para mí encontrar esta aplicación, que no conocía. Describen el código Golay extendido usado por la NASA en los ochenta y noventa del siglo pasado, para transmitir imágenes de Júpiter y Saturno tomadas por el Voyager. Capítulo 3: Rings and Fields Aparece el álgebra más abstracta, partiendo de los conceptos de números como enteros, reales, complejos. Definen anillo y sus primeras propiedades. Asumen en general que en un anillo R la unidad y el cero son distintos. Muestran algunos ejemplos, como el anillo de matrices cuadradas, y otros sobre funciones continuas, los polinomios R[x], y las operaciones de unión e intersección de conjuntos. Aparecen los anillos Zn sobre los enteros. Es natural entonces pasar a los campos, los racionales, el campo de fracciones de un anillo, los reales y complejos. Así como los primeros ejemplos de extensión de un campo, como cuando agregan raíz cuadrada de 2 al campo de los racionales. Capítulo 4: Linear Algebra and Linear Codes Se tratan los espacios vectoriales, con propiedades y primeros ejemplos; los subespacios vectoriales; independencia lineal; generación (spanning) y bases. Mencionan pero no prueban la existencia de una base. Definen transformaciones lineales, su relación con matrices en caso de espacios vectoriales con dimensión finita, la igualdad de las trazas de matrices nxn similares. Y como aplicación ponen los códigos lineales, subespacios de Z2 a la n ("vectores" compuestos de n elementos que valen cero o uno). Capítulo 5: Quotient Rings and Field Extensions Interesante capítulo, donde aparecen las operaciones de los polinomios R[x], su algoritmo de división, el concepto de ideales de un anillo, ideal principal, F[x] como ideal principal si F es un campo, el cociente R/I y la demostración de que es un anillo si I es un ideal, elementos irreducibles en un anillo, polinomios irreducibles en el anillo F[x] donde F es campo. Visitados estos preliminares, aparece el gran tema de extensiones de campos. Una notable proposición F[x]/I es una extensión del campo F, si I=(f) es el ideal generado por un polinomio irreducible f en F. También se cumple que si F[X]/(f) es campo, entonces f es irreducible. Retomando espacios vectoriales, se ve a la extensión K de F, como un F-espacio vectorial de K, y se define [K : F] su dimensión, un tema que cobrará relevancia en capítulos posteriores. En el caso f polinomio irreducible [F[x]/(f)] = grado de f. Se demuestra la fórmula de dimensión: si K es extensión de F, y L es extensión del campo K, se tiene [L : K][K : F] = [L : F], aun en los casos infinitos. Se conecta f irreducible con sus raíces alfa, mostrando que I = { g miembro de F[x] : g(alfa) = 0 } es un ideal. En resumen: con las raíces de un polinomio irreducible en F[x] se puede ir extendiendo el campo F. Se definen los números algebraicos. Capítulo 6: Ruler and Compass Constructions Un capítulo muy interesante porque aborda un tema que muchas veces no es tratado, o no es tratado en detalle: la construcción de números/segmentos usando regla y compás. Usando los resultados y conceptos de los capítulos anteriores muestra que estas construcciones van formando una cadena de campos partiendo de Q (los racionales), de tal manera que cada campo tiene la misma dimensión o el doble que la anterior. Con lo que solamente se construyen campos K tales que [K : Q] sea una potencia de dos. Pone contraejemplos de no construibles, como la trisección de un ángulo o la duplicación de un cubo, así como el resultado de Gauss de armar un polígono regular de 17 lados, cumpliendo 17-1 ser una potencia de dos (creo que Gauss no llegó a demostrar el resultado general). Es muy instructivo ver cómo se va desarrollando el argumento, y debe ser uno de los desarrollos abstractos dirigidos a resolver un problema concreto más interesante del libro. Capítulo 7: Cyclic Codes Vuelta a los códigos, construyendo sobre anillos cocientes de Z2[x], asegurando cierta corrección de errores. No recordaba esta aplicación de anillos cocientes sobre un anillo de polinomios. Aparecen los campos finitos también, así como los polinomios mínimos, sus raíces, y los códigos de Reed-Solomon. Capítulo 8: Groups and Cryptography Por primera vez, tratan el gran tema de grupos, y para estar acordes con su intención inicial, lo muestran relacionado con una de sus aplicaciones en criptografía. Definen subgrupos, enuncian y demuestran el teorema de Lagrange, y hasta el teorema de Euler-Fermat. Para criptografía, describen RSA (Rivest, Shamir, Adleman), y el uso de números primos en este sistema. Finalmente, mencionan la firma segura usando RSA. Capítulo 9: The Structure of Groups Mientras que en el anterior capítulo se usan grupos abelianos (conmutativos) acá se presentan las propiedades de grupos más generales, subgrupos, subgrupos normales, homomorfismos, núcleos, productos directos, grupos cocientes. Es una buena introducción a lo que es la matemática abstracta de una estructura. Capítulo 10: Symmetry Finalmente, vuelven sobre otra conexión entre álgebra y geometría (luego de la construcción con regla y compás). Discuten congruencias, isometrías, traslaciones, rotaciones, la preservación de las distancias y de los ángulos, el grupo lineal Gln(R), el grupo ortonormal On(R), su subgrupo SOn(R), reflexiones, composición de isometrías, isometrías en el plano, productos semidirectos, grupos de simetría, con ejemplos. Y culminan con la presentación y enumeración de grupos, por ejemplo, en frisos (7 grupos), y teselados del plano (17 grupos), cinco grupos de "lattice" (enrejado). Realmente consiguen recorrer muchos temas interesantes, y dejan la puerta abierta para otros. Por ejemplo, sería interesante sumergirse en la teoría Galois, luego de ver las extensiones de campos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 10 de Junio, 2016, 5:44
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En los anteriores posts estuvimos explorando la expresión matemática del espectro continuo. Vimos de desarrollar la función de estado de manera análoga al caso discreto. Cuando en este último usábamos una sumatoria de coeficientes y funciones propias, ahora tenemos:
Y los coeficientes af se obtienen "confrontando" la función de estado original con las funciones propias:
Hoy, sustituyamos el coeficiente af en la primera ecuación, por su expresión en la segunda:
Vean que hubo que renombrar q a q prima, porque es distinta de la q "de afuera" que tiene la ecuación. Esto es igual a:
O sea, integramos Psi por el corchete, recorriendo q prima, y obtenemos Psi en q. Esto solo es posible si:
Donde de nuevo aparece la función de Dirac. Es una relación análoga a la encontrada en el post anterior:
En la segunda ecuación de arriba, podemos considerar a los coeficientes af, como funciones de f:
Esto pone en evidencia que es una función que se puede desarrolla en coeficientes:
Multiplicados por las funciones propias conjugadas:
Mientras que la primera ecuación:
Muestra que la función de estado puede desarrollarse con coeficientes:
Multiplicados por las funciones propias:
Hay un "entremezclamiento" entre las funciones de los coeficientes y las funciones de estado. CADA UNA de ellas determina completamente el estado, conocido el sistema de las funciones propias. Se dice que a(f) es la función de estado en representación f (de los autovalores), y Psi(q) es la función de estado en representación q (de las coordenadas). Veremos más adelante ejemplos de sus usos, y de nuevo, la forma de pasar de una representación a otra. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 7 de Junio, 2016, 6:08
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Si tenemos un operador que al actuar sobre un vector produce un vector que es un múltiplo escalar del primero:
Donde a es un escalar, entonces llamamos a ese vector un autovector (eigenvector) y al valor escalar un autovalor (eigenvalue). Para operador adjunto, recordando la correspondencia antilineal entre bras y kets, queda:
De esto, y del post anterior, podemos demostrar el teorema: Los autovalores de un operador hermítico son reales. Pues sea A hermítico entonces:
En particular:
Sustituendo el operador por el autovalor a:
Y se sigue, como el autovalor es escalar, se puede mover a la izquierda:
Y para eso, se cumple:
Es decir, el autovalor es valor real, es su propio conjugado complejo. De esto también se sigue que para el bra se tienen los mismo autovalores:
Esto tiene una consecuencia muy importante para el tema de esta serie de posts. Vamos a ver que en física, ante una magnitud física, nos interesa saber su valor. Y los valores interesantes que se encuentran en física clásica (y también en cuántica) son REALES, no COMPLEJOS. Notablemente, esas magnitudes físicas estarán representadas por operadores HERMITICOS, que al operar sobre un vector de estado podrán extraer AUTOVALORES REALES, que corresponderán a los valores de la magnitud física que estemos examinando. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 4 de Junio, 2016, 14:22
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Ya pasó casi la mitad del año. Tantas cosas por hacer, aprender, compartir. Veo hoy de poner resultado de las resoluciones del mes anterior, y escribir las de este nuevo mes de junio. - Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente] Además publiqué: Primer Amor en Matemáticas Estuve preparando el tema del teorema de Fermat, pero tengo que decidir mejor el próximo paso para explicar el caso n=3. Supongo que expondré el resultado clásico, con alguna laguna en el razonamiento (la misma de la primera demostración de Euler), y luego a completarla. No parece haber compleción usando enteros, habrá que apelar a números complejos. Curiosamente, investigando del tema, me topé con que para los anillos con número de clase igual a uno, se cumple la factorización única. En el caso de la hipótesis de Riemman, encontré mejor información sobre la función zeta, pero me falta organizala para presentarla. Hay que mostrar que converge para s > 1, y también para s complejo, con parte real re(s) > 1. El tema primos suma de dos cuadrados es un tema inmenso y muy interesante, que tiene relaciones con las formas cuadráticas y más temas. Para este mes, quiero seguir con: - Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat Nos leemos! Angel "Java" Lopez |