Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 7 de Junio, 2016, 6:08

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Si tenemos un operador que al actuar sobre un vector produce un vector que es un múltiplo escalar del primero:

Donde a es un escalar, entonces llamamos a ese vector un autovector (eigenvector) y al valor escalar un autovalor (eigenvalue). Para operador adjunto, recordando la correspondencia antilineal entre bras y kets, queda:

De esto, y del post anterior, podemos demostrar el teorema: Los autovalores de un operador hermítico son reales.

Pues sea A hermítico entonces:

En particular:

Sustituendo el operador por el autovalor a:

Y se sigue, como el autovalor es escalar, se puede mover a la izquierda:

Y para eso, se cumple:

Es decir, el autovalor es valor real, es su propio conjugado complejo.

De esto también se sigue que para el bra se tienen los mismo autovalores:

Esto tiene una consecuencia muy importante para el tema de esta serie de posts. Vamos a ver que en física, ante una magnitud física, nos interesa saber su valor. Y los valores interesantes que se encuentran en física clásica (y también en cuántica) son REALES, no COMPLEJOS. Notablemente, esas magnitudes físicas estarán representadas por operadores HERMITICOS, que al operar sobre un vector de estado podrán extraer AUTOVALORES REALES, que corresponderán a los valores de la magnitud física que estemos examinando.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia