Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Junio, 2016, 6:15

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Sean dos números naturales cualquiera, a y b. Entonces existen números únicos naturales q, r tales que:

Cumpliendo:

Examinemos el conjunto de pares q, r que cumplen la primera condición. Si a < b, entonces se cumple:

Y q=0, r=a. Si a >= b entonces se cumple:

Y q=1, r=a-b. Tenemos entonces que el conjunto de los pares q, r no es vacío. Tomemos los valores de los r, que son naturales. Por propiedad de los conjuntos de números naturales, hay un valor que es el mínimo. Sea ese valor r >= b, con a=qb+4. Pero entonces:

Y q+1, r-b también existe, y r-b < r que era el mínimo, contrariamente a lo supuesto.

Esto demuestra que, al existir el mínimo r natural tal que a = qb + r, éste es 0 <= r < b, como se quería demostrar.

Es una interesante propiedad, conocida como el algoritmo de división. Vean que no usamos primos: es algo de los números naturales. Fácilmente se puede extender a los enteros, obteniendo un resto r que sea menor o igual en valor absoluto al valor absoluto de b.

Veremos en próximo post, cómo este algoritmo permite establecer el máximo común divisor de a y b, y de nuevo llegaremos a probar que si el número p primo divide al producto de dos números cualesquiera ab, entonces divide al número a o divide al número b. En anterior post vimos la demostración de esta importante propiedad de los números primos. En otras estructuras, es prácticamente LA DEFINICION de algo primo, pero por ahora estamos explorando los números naturales y enteros.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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