Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 26 de Junio, 2016, 15:27

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Sigo comentado este libro. Comienzo hoy con una enumeración de los temas por capítulo.

Chapter 1: Groups, Rings and Fields

En realidad, presenta primero anillos, como estructura, luego campos (lo que para nosotros, con libros en español, serían cuerpos conmutativos), dominios de integridad (anillo conmutativo con unidad 1 <> 0, y sin divisores de cero), campo (anillo conmutativo con unidad distinta de cero, y donde cada elemento distinto de cero es una unidad, es decir, tiene inverso). Hay resultados básicos como Zp es dominio de integridad si y sólo si p es primo, y todo dominio de integridad finito es un campo. Luego aparecen subanillos, y una estructura importante, los ideales. Dado un ideal I del anillo R, se puede armar el anillo cociente R/I, teniendo bien definidas las operaciones de suma y producto en los elementos (conjuntos) de R/I. Se describen los homomorfismos, núcleo e imagen de homorfismo. Y se trata el importante cuerpo de fracciones de un anillo, que nos lleva a extender cualquier anillo a "puntos" cercanos a un punto, como pasa cuando pasamos de los enteros a los racionales. Se define campo primo como un campo que no tiene subcampos no triviales. Notablemente, todo campo tiene un campo primo. Cuando en un anillo conmutativo, sumar n veces la unidad da cero, entonces n es la característica del anillo. Todo anillo tiene característica 0, o tiene característica número primo. Lo mismo con los campos. Finalmente, se presentan los grupos y sus primeras propiedades.

Chapter 2: Maximal and Prime Ideals

La estructura de ideales es una de las más fructíferas del álgebra moderna. En este capítulo se presenta y discuten las propiedades de los ideales maximales, ideales no triviales de un anillo R, que no tienen un ideal no trivial que los contenga. Como en muchas ocasiones van a aparecer cadenas "crecientes" de ideales, es importante conocer la existencia de ideales maximales. Un ideal es primo, si ab pertenece a I, entonces a pertenece a I, o b pertenece a I. Es una generalización de la principal propiedad de los números primos naturales. Vean que no se apela a ver si un ideal se puede descomponer en otros, eso dará lugar a un concepto distinto en el reino de los ideales, los ideales irreducibles. Si I es ideal primo, entonces el anillo cociente R/I es un dominio de integridad y viceversa. Si I es ideal maximal en un anillo conmutativo con unidad distinto de cero, entonces R/I es un campo. Hay ideales que pueden ser generados por un conjunto de elementos. Si el conjunto es de un solo elemento, I se llama ideal principal. Un dominio de ideales principales es un dominio de integridad donde todos sus ideales son principales, es decir, son generados por un solo elemento. Notablemente, Z es un dominio de ideales principales.

Por hoy suficiente, son varios temas a estudiar y repasar. Espero seguir con los siguientes capítulos en los próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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