Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 27 de Junio, 2016, 14:24

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Sigo comentando este libro con tantos temas interesantes, que ponen bastante en perspectiva las estructuras matemáticas más comunes.

Chapter 3: Prime Elements and Unique Factorization Domains

En el segundo capítulo se vió que Z es un dominio de ideales principales, y no sólo eso, sino también que sus dominios primos eran maximales. Muchas de las propiedades de Z se encuentran en otros anillos, pero no todas. Es interesante ver esa diferencia. Una propiedad muy característica de Z es que los enteros se factorizan en primos de una forma única. Pues es una gran sorpresa (por lo menos para mí no evidente) que no todos los anillos tienen esta propiedad, aún los anillos compuestos por números. Uno tal vez lo podría esperar de anillos de matrices o de polinomios o de anillos más complicados. Pero el llamado "teorema fundamental de la aritmética" no siempre se cumple en cualquier anillo. Los anillos que lo cumplen se llaman DFU (dominios de factorización única). En este capítulo se demuestra el teorema fundamental de la aritmética. Se pone como punto de partida de la teoría clásica de números a la divisibilidad (propiedad definible en todos los anillos, a divide a b, si existe c tal que ac = b). Se presenta el algoritmo de división entre los enteros. Dado este algoritmo, se puede demostrar la existencia del máximo común divisor entre los enteros. De nuevo, apelando al algoritmo de división, es posible usar el algoritmo de Euclides para encontrar ese máximo común divisor. Se demuestra también el importante lema de Euclides, si p es primo y divide a ab, entonces divide a a, o divide a b. Dado todo esto, es posible llegar al teorema fundamental de la aritmética. Hay demostración de la infinitud de primos. Pero el giro importante que hace el capítulo es ir más allá de los enteros. Habiendo enunciado todos estos lemas y propiedades de Z, examina qué se puede hacer en un anillo dominio de integridad cualquiera. De nuevo, parte de la divisibilidad. Se llama unidad a en R, a cualquier a que tenga un b tal que ab = 1. Y lo nuevo: la definición de primo para un dominio de integridad. Se dice p es primo, cuando p divide a ab, implica que p divide a a o p divide a b. Esto es distinto de lo que usualmente consideramos como primo. Mientras esta propiedad es el lema de Euclides para primos en Z, acá es la DEFINICION de primo. Para los elementos de R que no pueden descomponerse en otros elementos y que tampoco son unidades, se les dice irreducibles. Es decir, c es irreducible si no es unidad, y no existen a,b tales que ab = c. Finalmente, a y b se llaman asociados si existe unidad e tal que a = eb. Se ve fácil que es una relación de equivalencia. Notablemente hay dominios de integridad donde hay elementos irreducibles que no son primos. Un concepto importante para mostrar esto, es el de norma, que permite dar cuenta del "tamaño" de un número en un sistema no ordenado como el de los complejos. Es notable que haya esta diferencia entre primos e irreducibles en algunos dominios de integridad. Lo que sí se cumple, es que todo elemento primo es irreducible. Los elementos primos p de R hacen del ideal pR un ideal primo. Y un tema no evidente: p es irreducible si y sólo si pR es ideal maximal entre los ideales principales de R. Todo esto último permite llegar a la equivalencia de primos e irreducibles en los anillos que sólo tienen ideales principales. Es ahí donde se puede asegurar que todo primo si y sólo si es irreducible.

Continuaré con el comentario de este interesante capítulo en próximo post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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