Angel "Java" Lopez en Blog

Julio del 2016

Publicado el 31 de Julio, 2016, 12:42

Hoy leo el "Wave Mechanics" de Arnold Sommerfeld. El fue un físico teórico que fue mentor de varios premios Nobel, que desarrollaron la mecánica cuántico en las primeras décadas del siglo XX. Fue asistente de Felix Klein, de quien rescató algunas ideas de Hamilton que luego comentó a Schrödinger, su alumno.

Leo al principio de este libro de 1930:

The antithesis between macroscopic and microscopic events has often been emphasised. For example, the state of a configuration in heat equilibrium looks quite different when regarded microscopically than from the point of view of the kinetic theory of gases. Mechanics and electrodynamics are also macroscopic in origin. To apply them unchanged to the oonditions in the atom is to make unjustifiable demands of Nature. Nevertheless important partial successes favoured the extrapolation of these theories to microscopic conditions. The study of the electronic orbits within the atom, which has beoome so immensely fruitful for our knowledge of the atom, in particular for deciphering spectrum, was founded on classioal mechanics. And the considerations of the Correspondence Principle, whioh we required in order to answer questions of intensity and polarisation were derived from classical electrodynamics...

Bueno, aunque algunos desarrollos se basaron en las bases clásicas, también se vieron complementados por ideas como el modelo de Bohr (mejorado por el propio Sommerfeld y alumnos), donde se apartaba de lo clásico con reglas "ad-hoc".

En el próximo post comentaré alguna de esas reglas.

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Klein, Sommerfeld y Schrödinger
Sommerfeld según Pauli

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 25 de Julio, 2016, 13:59

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La divulgación científica siempre tiene algo de problema: cómo transmitir algún descubrimiento científico, sin perder algo en el camino. Algo que siempre recuerdo de este libro, es como Weinberg describe a que lector está orientado el libro:

I had better say for what reader this book is intended. I have written for one who is willing to puzzle through some detailed arguments, but who is not at home in either mathematics or physics. Although I must introduce some fairly complicated scientific ideas, no mathematics is used in the body of the
book beyond arithmetic, and little or no knowledge of physics or astronomy is assumed in advance. I have tried to be careful to define scientific terms when they are first used, and in  addition I have supplied a glossary of physical and astronomical terms ..... Wherever possible, I have also written numbers like "a hundred thousand million" in English, rather than use the more convenient scientific notation: 1011.

Weinberg siempre plantea un argumento para explicar algo:

However, this does not mean that I have tried to write an easy book. When a lawyer writes for the general public, he assumes that they do not know Law French or the Rule Against Perpetuities, but he does not think the worse of them for it, and he does not condescend to them. I want to return the compliment: I picture the reader as a smart old attorney who does not speak my language, but who expects nonetheless to hear some convincing arguments before he makes up his mind.

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Al fin una fórmula
Divulgación de la ciencia, por Ernesto Sábato

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 24 de Julio, 2016, 13:50

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Casi cada año vuelvo a este libro de Steven Weinberg "Los primeros tres minutos, una visión moderna del origen del universo". Hay tanto para comentar, desde el punto de vista de la divulgación científica, como desde la historia de la ciencia y la epistemología. Weinberg es un buen autor, claro, preocupado por explicar lo que para otros sería pura erudición científica. Para Weinberg, es un casi un deber explicar claramente, de forma que todos puedan entender su argumento. Si otros autores siguieran su ejemplo, tantos libros mejores se hubieran escrito.

Rescato hoy el texto de su introducción:

In the beginning there was an explosion. Not an explosion like those familiar on earth, starting from a definite center and spreading out to engulf more and more of the circumambient air, but an explosion which occurred simultaneously  everywhere, filling all space from the beginning, with every particle of matter rushing apart from every other particle. "All space" in this context may mean either all of an infinite universe, or all of a finite universe which curves back on itself like the  surface of a sphere. Neither possibility is easy to comprehend, but this will not get in our way; it matters hardly at all in the early universe whether space is finite or infinite.

Describe algo importante. Uno tiende a pensar en el "big bang" como algo puntual, un punto que se fue expandiendo. Pero Weinberg pone claramente que es una explosión "extendida" a todo punto. No sabemos si el universo es finito o infinito, pero este "big bang" explota en cada punto de ese universo.

El propio Weinberg pone en sus "Suggestion for futher Reading" a Alejadro Koyré y su libro "From the closed world to the infinite universo".

Más comentarios sobre Weinberg, y también sobre Koyré, en próximos posts.

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 23 de Julio, 2016, 15:01

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Luego de la revolución que produjo las ideas de Heisenberg, apuntaladas por los resultados de Born, Jordan y Dirac, todavía habría más sorpresas. La aparición de la formulación de Schrondinger trajo otro formulismo matemático para explicar los fenómenos cuánticos:

...While we were still discussing the point, there occurred the second dramatic surprise: the appearance of Schrodinger's celebrated paper. He followed quite a different line of thought, which derived from Prince Louis de Broglie (1892-1987). The latter had a few years previously made the bold assertion, supported by brilliant theoretical considerations, that wave-corpuscle dualism, familiar to physicists in the case of light, must also be exhibited by electrons; to each freely movable electron there belongs, according to these ideas, a plane wave of perfectly definite wave length, determined by Planck's constant and mass... Schrodinger extended de Broglie's wave equation, which applied to free motion, to the case in which forces act... and he succeeded in deriving the stationary states of the hydrogen atom as monochromatic solutions of his wave equation not extending to infinity. For a short while, at the beginning of 1926, it looked as if suddenly there were two self-contained but entirely distinct systems of explanation in the field - matrix mechanics and wave mechanics. But Schrodinger himself soon demonstrated their complete equivalence.

Es interesante ver que Schrödinger sigue otro camino, para explicar los fenómenos conocidos, basados en las ideas de de Broglie, usando analogías entre la óptica geométrica y la ondulatoria, para conseguir algo que conciliara la mecánica clásica y la nueva mecánica. Sus métodos resultaron más familiares a muchos físicos, pero al final, se vió que ambas aproximaciones (la de Heisenberg y la de Schrödinger) eran similares.

Wave mechanics enjoyed much greater popularity than the Gottingen or Cambridge version of quantum mechanics. Wave mechanics operates with a wave function ip, which - at least in the case of one particle - can be pictured in space, and it employs the mathematical methods of partial differential equations familiar to every physicist.

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 21 de Julio, 2016, 17:20

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En el anterior post, vimos como Born junto a su ayudante Jordan escriben un artículo extendiendo las idea de Heisenberg, incluso al electromagnetismo. Como dato curioso, aporto que Born primero le había pedido ayuda a Pauli, pero a éste no le interesó el tema.

Luego llega un segundo artículo, esta vez en colaboración con Heisenberg, aún estando éste ausente. Se llevan una sorpresa cuando ven que varias de sus conclusiones fueron alcanzadas por Dirac, en Inglaterra, entonces aún no muy conocido como físico teórico:

There followed a hectic period of collaboration among the three of us, rendered difficult by Heisenberg's absence. There was a lively interchange of letters... The result was a three-man paper,36 which brought the formal side of the investigation to a certain degree of completeness. Before this paper appeared, the first dramatic surprise occurred: Paul Dirac's paper on the same subject.37 The stimulus received through a lecture by Heisenberg in Cambridge led him to results similar to ours in Gottingen, with the difference that he did not have recourse to the known matrix theory of the mathematicians but discovered for himself and elaborated the doctrine of such non-commuting symbols.

Luego, otro aporte no menor, vino de Pauli, que consiguió calcular valores del átomo de hidrógeno (creo que el artículo, parcial, también está en Sources of Quantum Mechanics de van der Waerden).

The first nontrivial and physically important application of quantum mechanics was made soon afterwards by Wolfgang Pauli,38 who calculated the stationary energy values of the hydrogen atom by the matrix method and found complete agreement with Bohr's 1913 formulas. Prom this moment there was no longer any doubt about the correctness of the theory among physicists...

Todavía había dudas sobre él significado del aparato matemático:

What the real significance of the formalism might be was, however, by no means clear. Mathematics, as often happens, was wiser than  interpretative thought...

En el próximo post veremos que habría más sorpresas, con la versión alternativa de Schrödinger.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 20 de Julio, 2016, 13:52

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Sigo leyendo y comentado el escrito de Max Born:

By consideration of known examples discovered by guesswork, Heisenberg found this rule and applied it with success to simple examples such as the harmonic and anharmonic oscillator. This was in the summer 1925. Heisenberg, suffering from a severe attack of hay fever, took leave of  absence for a course of treatment at the seaside and handed over his paper to me for publication, if I thought I could do anything about it.

Es un clásico de la historia de la ciencia, esa "escapada" de Heisenberg, a Heligoland, por su ataque de fiebre de heno. Vean que Born, igual que Dirac, ve el trabajo de Heisenberg más orientado al tema de ir armando fórmulas que concuerden con los experimentos.

The significance of the idea was immediately clear to me, and I sent the manuscript to the publisher.34 Heisenberg's rule of multiplication left me no peace, and after a week of intensive thought and trial, I suddenly remembered an algebraic theory that I had learned from my teacher, Rosanes, in Breslau. Such quadratic arrays are quite familiar to  mathematicians and are called matrices, in association with a definite rule of multiplication. I applied this rule to Heisenberg's quantum condition and found that it agreed for the diagonal elements. It was easy to guess what the remaining elements must be, namely, null; and immediately there stood before me the strange formula

qp — pq = ih

This meant that the coordinates q and momenta p are not to be represented by the values of numbers but by symbols whose product depends on the order of multiplication - which do not "commute", as we say. My excitement over this result was like that of the mariner who, after long voyaging, sees the desired land from afar, and my only regret was that Heisenberg was not with me. I was convinced from the first that we had stumbled on the truth. Yet again a large part was only guesswork, in particular the vanishing of the non-diagonal elements in the foregoing  expression. For this problem, I secured the collaboration of my pupil Pascual Jordan, and in a few days we succeeded in showing that I had guessed correctly. The joint paper written by Jordan and myself contains the most important principles of quantum mechanics,  ncluding its extension to electrodynamics...

Tanto el "paper" de Heisenberg como el de Born/Jordan, lo podemos encontrar en el excelente Sources of Quantum Mechanics, de van Der Waerden.

Sigo en próximos post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 19 de Julio, 2016, 13:21

Sigo leyendo el excelente libro de Zeilder, "Quantum field theory, I". Encuentro la cita de un texto de Max Born, incluido en su libro "Physics in my generation". Recuerdo los tiempos de 1925:

In Gottingen we also took part in the attempts to distill the unknown mechanics of the atom out of the experimental results. The logical difficulty became ever more acute. Investigations on scattering and dispersions of light showed that Einstein's conception of transition probability as a measure of the strength of an oscillation was not adequate... The art of guessing correct formulas, which depart from the classical formulas but pass over into them in the sense of Bohr's correspondence principle, was brought to considerable perfection...

Desde 1913 con el trabajo de Bohr, se había avanzado a tientas, adivinando fórmulas para explicar los resultados experimentales.

This period was brought to a sudden end by Heisenberg, who was my assistant at that time. He cut the Gordian knot by a philosophical principle and replaced guesswork by a mathematical rule. The principle asserts that concepts and pictures that do not correspond to physically observable facts should not be used in theoretical description. When Einstein, in setting up his theory of relativity, eliminated his concepts of the absolute velocity of a body and of the absolute simultaneity of two events at different places, he was making use of the same principle. Heisenberg banished the picture of electron orbits with definite radii and periods of rotation, because these quantities are not observable; he demanded that the theory should be built up by means of quadratic arrays. Instead of describing the motion by giving a coordinate as a function of time x = x(t), one ought to determine an array of transition probabilities (xij). To me the decisive part in his work is the requirement that one must find a rule whereby from a given array [matrix]....the array for the square (x2)ij may be found (or, in general, the multiplication law of such arrays).

Ese es el gran avance de Heisenberg: dejó el concepto de posición y velocidad, y expresó las relaciones entre probabilidades. Esas probabilidades de transición desde estado i a estado j se disponían en una matriz. Y Heisenberg consiguió manejar esas matrices como "números", con multiplicación incluida.

Sigo comentando en próximo post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 17 de Julio, 2016, 15:16

Ayer compartí un fragmento de la conferencia de Heisenberg, en Trieste, 1968, cuando fue invitado por Abdus Salam. A la misma conferencia fue invitado Dirac. Abajo transcribo parte de lo que dijo. Es interesante ver cómo Dirac distingue dos formas de generar física teórica: por un lado, la forma basada en los resultados experimentales; por otra, la forma basada en los conceptos matemáticos. Leo en el excelente libro de Zeidler, Quantum Field Theory, I:

I have the best of reasons for being an admirer of Werner Heisenberg. He and I were young research students at the same time, about the same age, working on the same problem. Heisenberg succeeded where I failed. There was a large mass of spectroscopic data accumulated at that time and Heisenberg found out the proper way of handling it. In doing so, he started the golden age of theoretical physics...

One can distinguish between two main procedures for a theoretical  physicist. One of them is to work from the experimental basis. For this, one must keep in close touch with the experimental physicists. One reads about all the results they obtain and tries to fit them into a comprehensive and satisfying scheme.

The other procedure is to work from the mathematical basis. One examines and criticizes the existing theory. One tries to pin-point the faults in it and then tries to remove them. The difficulty here is to remove the faults without destroying the very great success of the existing theory...

Y acá viene el tema que interesa: Dirac pone como ejemplos de cada aproximación, a Heisenberg y a Schrödinger:

This is illustrated by the discovery of quantum mechanics. Two men are involved, Heisenberg and Shrodinger. Heisenberg was working from the xperimental basis, using the results of spectroscopy, which by 1925 had ccumulated an enormous amount of data... It was Heisenberg's genius hat he was able to pick out the important things from the great wealth f information and arrange them in a natural scheme. He was thus led to mtrices...

Schrodinger's approach was quite different. He worked from the mathematical basis. He was not well informed about the latest spectroscopic results, lke Heisenberg was, but had the idea at the back of his mind that spectral requencies should be fixed by eigenvalue equations, something like those hat fix the frequencies of systems of vibrating strings. He had this idea for a long time, and was eventually able to find the right equation, in an indirect way...

Heisenberg and Schrodinger gave us two forms of quantum mechanics, which were soon found to be equivalent. They provided two pictures, with a certain mathematical transformation connecting them. I joined in the early work on quantum mechanics, following the procedure based on  mathematics, with a very abstract point of view. I took the noncommutative algebra which was suggested by Heisenberg's matrices as the main feature for a new dynamics...

Ver también

Dirac y la teoría de Heisenberg
P.A.M. Dirac, por Abdus Salam

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 16 de Julio, 2016, 16:13

Tengo tanto pendiente para escribir sobre Heisenberg (ver Entendiendo a Heisenberg, Heisenberg desarrollando la mecánica cuántica)

Hoy encontré en el excelente libro de Zeidler, Quantum Field Theory, I, esta cita del discurso de Heisenberg cuando fue invitado, junto con Dirac, por Abdus Salam a una conferencia en Trieste, Italia, 1968. Es interesante ver cómo dejó por un tiempo el modelo de átomo de hidrógeno y se concentró en un problema más simple:

I had the impression from my conversation with Bohr (1885-1962) that one should go away from all these classical concepts, one should not speak of the orbit of an electron. ..

When I came back from Copenhagen to Gottingen I decided that I should again try to do some kind of guess work there, namely, to guess the  intensities in the hydrogen spectrum... That was early in the summer 1925 and I failed completely. The formulae got too complicated... At the same time I also felt, if the mechanical system would be simpler, then it might be possible just to do the same thing as Kramers (1894-1952) and I had done in Copenhagen and to guess the amplitudes. Therefore I turned from the hydrogen atom to the anharmonic oscillator, which was a very  simple model. Just then I became ill and went to the island of Heligoland to recover. There I had plenty of time to do my calculations. It turned out that it really was quite simple to translate classical mechanics into quantum mechanics. But I should mention one important point. It was not sufficient simply to say "let us take some frequencies and amplitudes to replace orbit quantities" and use a kind of multiplication which we had already used in Copenhagen and which later turned out to be equivalent to matrix multiplication...

Heisenberg quería algo más, y Born, Jordan, independientemente Dirac,llegaron a completar el modelo matemático:

It turned out that one could replace the quantum conditions of Bohr's theory by a formula which was essentially equivalent to the sum-rule by Thomas and Kuhn... I was however not able to get a neat mathematical scheme out of it. Very soon afterwards both Born and Jordan in Gottingen and Dirac in Cambridge were able to invent a perfectly closed mathematical scheme; Dirac with very ingenious new methods on q-numbers and Born and Jordan with more conventional methods of matrices33...

Pero Heisenberg se preocupaba más por el aspecto físico, más allá del modelo matemático:

When you try too much for rigorous mathematical methods you fix your attention on those points which are not important from the physics point and thereby you get away from the experimental situation. If you try to solve a problem by rather dirty mathematics, as I have mostly done, then you are forced always to think of the experimental situation; and whatever formulae you write down, you try to compare the formulae with reality and thereby, somehow, you get closer to reality than by looking for the rigorous methods. But this may, of course, be different for different people...

In 1926 Niels Bohr and I discussed the question on the physical  interpretation of quantum mechanics many, many nights and we were frequently in a state of despair. Bohr tried more in the direction of duality between waves and particles; I preferred to start from the mathematical formalism and to look for a consistent interpretation. Finally Bohr went to Norway to think alone about the problem and I remained in Copenhagen. Then I remembered Einstein's remark in our discussion. I remembered that Einstein had said that "It is the theory which decides what can be observed." From there it was easy to turn around our question and not to ask "How can I represent in quantum mechanics this orbit of an electron in a cloud chamber?", but rather to ask "Is it not true that always only such situations occur in nature, even in a cloud chamber, which can be described by the mathematical formalism of quantum mechanics?" By turning around I had to investigate what can be described in this formalism; and then it was very easily seen, especially when one used the new mathematical discoveries of Dirac and Jordan about transformation theory, that one could not describe at the same time the exact position and the exact velocity of an electron; one had these uncertainty relations. In this way things became clear. When Bohr returned to Copenhagen, he had found an equivalent  interpretation with his concept of complementarity, so finally we all agreed that now we had understood quantum theory...

Y llegamos al tema Einstein, discutiendo con Bohr en el Solvay 1927:

Again we met a difficult situation in 1927 when Einstein and Bohr discussed these matters at the Solvay Conference. Almost every day the  sequence of events was the following. We all lived in the same hotel. In the morning for breakfast Einstein would appear and tell Bohr a new fictitious experiment in which he could disprove the uncertainty relations and thereby our interpretation of quantum theory. Then Bohr, Pauli and I would be very worried, we would follow Bohr and Einstein to the meeting and would discuss this problem all day. But at night for dinner usually Bohr had solved the problem and he gave the answer to Einstein, so then we felt that everything was alright and Einstein was a bit sorry about that and said he would think about it. Next morning he would bring a new fictitious experiment, again we had to discuss,  and so on. This went on for quite a number of days and at the end of the conference the Copenhagen physicists had the feeling that they had won the battle and that actually Einstein could not make any real objection... Einstein never accepted the probabilistic interpretation of quantum mechanics. He said : "God does not play at dice."

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 15 de Julio, 2016, 7:14

En estos días comencé a escribir sobre la teoría de Galois, un tema fascinante y hasta hermoso. En su historia se ve el primer florecimiento de conceptos de álgebra abstracta que hoy tenemos en tantas partes, con estructuras y sus relaciones. Pero una cosa es cómo se explica hoy el tema, y otra algo diferente es cómo se inición, con una memoria de Galois.

Encuentro esa memoria (traducida al inglés, escrita alrededor de 1829), en el excelente libro Galois Theory, de Edwards. Hay una interesante sinopsis, también, y ahí encuentro explicado la diferencia de énfasis entre el desarrollo inicial de Galois y el más moderno hoy difundido. Mientras que Galois se centra en estudiar las permutaciones de las raíces de una ecuación, hoy se toma otro camino equivalente:

The Dedekindian tradition, which has dominated algebra for the last century, formulates basic Galois theory somewhat differently. A group is associated not to an equationf (x) = 0 with coefficients in K but to a normal extension field L of K. The group, denoted Ga!(L/K), associated to the normal extension L  K is all automorphisms of L which leave elements of K fixed. As was seen above, the Galois group of f(x) = 0 over K is isomorphic to Gal(L/K), where L = K(a, b, c,...) is the splitting field of f over K, and where the isomorphism is given simply by restricting automorphisms in Gal(L/K) to the n-element subset {a, b, c,...} of L.

The advantage of this formulation is that it shows that the group depends (up to isomorphism) only on the splitting field. In particular, the group of an equation f(x) = 0 which has multiple roots can be defined in the same way as that of an equation with simple roots, whereas Galois' definition assumes simple roots. The advantage of Galois' original formulation is that it defines the group in a way that makes evident the crucial fact that extendint the field K reduces (or leaves unchanged) the Galois group...

Al comienzo de mi serie sobre el tema, voy a tratar de seguir el camino de Galois (y sus predecesores, como Lagrange), pero luego seguramente tendré que expresarme en términos de automorfismos de cuerpos y demás.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 10 de Julio, 2016, 15:09

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Veamos de examinar por qué se pudo resolver la ecuación de segundo grado. Recordemos que tenemos dos raíces:

Si expandimos su desarrollo, quedan los coeficientes:

Donde esos coeficientes son funciones simétricas de las raíces:


Esto es notable y fundamental: cuando expandamos el desarrollo de cualquier ecuación mónica de grado n, sus coeficientes resultarán ser funciones simétricas de sus raíces. Son simétricas porque son funciones que dan el mismo resultado si permutamos las raíces. Es decir:


Notablemente las raíces pueden ser irracionales, y los coeficientes ser racionales, como en:

Si multiplicamos y sumamos funciones simétricas, obtenemos funciones simétricas. De alguna forma TODOS los números que podemos obtener desde los coeficientes,  son entonces funciones simétricas de las raíces. Más adelante demostraremos que todas las funciones simétricas de las n raíces pueden expresarse a partir de los coeficientes. Pero para las primeras exploraciones del problema no hace falta esa demostración, que es notable igualmente.

Pero veamos ahora de obtener una expresión para la primera raíz:

No parece ser muy interesante. Pero podemos tratar que la parte derecha se base en expresiones simétricas de las raíces. Un avance:

Al menos ahora (x1+x2) es una expresión simétrica de las raíces. Pero (x1-x2) no es simétrica. Acá aparece el truco de introducir un radical, una raíz cuadrada:

Ahora, el cuadrado de (x1-x2) sí es simétrica:

Podemos usar la expresión de los coeficientes. Y entonces es igual a:

Queda una raíz expresada en función de los coeficientes, apelando al uso de una raíz cuadrada apropiadamente usada:

La otra raíz se puede obtener de:


Esta es el camino por el que hay UNA FORMULA general para las raíces de la ecuación de segundo grado: armamos una expresión compuesta de expresiones simétricas de las raíces, las expresamos como resultado de operaciones sobre los coeficientes, agregamos un radical, y tenemos nuestra fórmula general. Veremos en el próximo post un camino similar para obtener una fórmula general para la ecuación genérica de tercer grado.

Hay que destacar que es la introducción de un radical el que permite que las raíces "vayan más allá" de los racionales. Sin el radical, todas las raíces de ecuaciones de coeficientes racionales, serían racionales. Es el uso del radical el que permite "extender" el campo de los números de base. En general partiremos del campo de los racionales, o sea, los coeficientes serán racionales. Pero bien podemos tener coeficientes reales o complejos, y las "fórmulas generales" funcionarían igual.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 9 de Julio, 2016, 16:44

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Hoy comienza otro tema de matemáticas, fascinante, que siempre va volviendo a mi radar en las últimas tres décadas. Me refiero a la teoría de Galois, y su demostración de la no existencia de una fórmula general para la resolución de la ecuación de grado cinco o superior. Galois fue precedido por Abel, aunque con resultados algo distintos. Y se valió de la extensión de ideas de Lagrange.

Tengo que confesar que no es fácil exponer los resultados de Galois, al menos en su forma original. La mayor parte de mis fuentes (mencionadas al final de este post), se basan en la exposición moderna, sobre ideas de Dedekind, y abandonan el camino original de Galois, tal vez menos general, pero también con cierto encanto.

Comencemos escribiendo la factorización de la ecuación de segundo grado con dos soluciones, dos raíces:

Vean que al expandirla, encontramos un polinomio mónico:

Podemos escribir:

Haciendo s como la suma de las raíces:

Y p como el producto de las raíces

Como expuse en mi post de ayer. Es decir, LOS COEFICIENTES de la ecuación desarrollada, SON FUNCIONES DE SUS RAICES. Y no sólo son funciones de las raíces, sino que también son funciones simétricas de esas raíces. ¿Qué quiere decir "simétrica"? Que aún cambiando el orden de las raíces, los valores de los coeficientes son los mismos:


Esto es una pista fundamental. De alguna forma los coeficientes dependen de las raíces de una forma especial. Por otro lado, en la ecuación de segundo grado (y en las de tercero y cuarto), es posible expresar las raíces como funciones de los coeficientes:


Es decir, buscamos que las raíces de una ecuación sean funciones racionales y con alguna extracción de raíces de los coeficientes de la ecuación:

Lo que Galois mostró es que no hay funciones así, de los coeficientes, que nos den, de forma genérica, las raíces para las ecuaciones de quinto o superior grado, usando operaciones como suma, resta, multiplicación, división y toma de raíces de cualquier grado. Ese es el camino a investigar y recorrer, las ideas de Galois (y otros, como Lagrange, Abel, Ruffini…) que llevaron a estos resultados.

Lo que sí siempre es cierto, que los coeficientes de la ecuación son FUNCIONES SIMETRICAS de las raíces. Es más, veremos que toda expresión simétrica sobre las raíces, se puede expresar como función simple de los coeficientes. Ese fue uno de los primeros resultados importantes en el camino largo que tenemos que recorrer.

Mis principales fuentes:

Galois Theory, de Edwards. Excelente libro, que sigue el camino original de Galois, incluso incluye una traducción de su memoria fundamental.

Galois Theory, de Artin y otros. Más matemático y árido, no parece que lo necesite mucho para los posts que vienen.

Algebra Moderna, de Birkhoff, Mc Lane, sus dos últimos capítulos tratan de números algebraicos y teoría de Galois.

Teoría de Cuerpos y Teoría de Galois, de Ana M. de Viola-Prioli, y Jorge E. Viola-Prioli, un libro bien llevado, con detalles, aunque siguiendo el camino Dedekind.

Fields and Galois Theory, de JS Milne, libro bien matemático, algo árido pero sólido.

Fields and Galois Theory, de Patrick Morandi, un libro bien desarrollado, con bastante detalle y ejemplos, pero que tengo pendiente de estudiar

Lectures in Abstract Algebra, II, Theory of Fields and Galois Theory, de Nathan Jacobson, como el anterior, buen desarrollo, ejemplos, y temas complementarios.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 8 de Julio, 2016, 15:47

En estos días estoy estudiando la teoría de Galois (ver Teoría de Galois) y una de mis fuentes es el excelente libro Galois Theory, de Edwards. Hoy encuentro en este texto una descripción interesante de cómo resolvían los babilonios la ecuación de segundo grado en una variable.

En realidad, resolvían un problema que tiene relación. Dados dos números s y p, sabiendo que uno es la suma de dos números no conocidos:

Y otro es el producto de esos dos números:

Encontrar el valor de x y de y. Podemos llamar a este problema, la forma normal de la ecuación de segundo grado. ¿Por qué? Si multiplicamos s por x:

Pero xy es igual a p, entonces:


Que es la expresión de la ecuación de segundo grado que nos enseñaban en el colegio. Los babilonios no podían transformar toda ecuación de segundo grado a la forma normal, porque no manejaban los números negativos. Es un interesante tema histórico que, para esos casos, planteaban una "segunda" forma normal, donde se daba LA RESTA y la multiplicación de las dos incógnitas, en vez de la suma y la multiplicación.
¿Cómo resolvían el problema normal? Con un procedimiento, un algoritmo:

- Tomar la mitad de s
- Elevar el resultado al cuadrado
- Substraerle p
- Tomar la raíz cuadrada
- Agregar la mitad de s. Ese es uno de los dos números buscados. El otros es s menos este número

Ejemplo, sea s, la suma, igual a 10. Y p, el producto, igual a 21. Entonces, siguiendo los pasos, obtenemos sucesivamente: 5, 25, 4, 2, 7. El siete es una de las incógnitas. La otra es 10 – 7 = 3. Esas son las raíces buscadas.

Esto lo usaban alrededor de 1700 años A.C. Es notable. Edwards cita como fuente a Neugebauer, "The Exact Sciences in Antiquity" (creo que yo tenía una edición de Eudeba o del Fondo de Cultura Económica, pero no la encuentro). No sabemos cómo llegaron los babilonios a este resultado, que si lo seguimos paso a paso, resulta en nuestra familiar fórmula:

Lo único que queda es imaginar a un genio que llegó a este resultado, y luego quedó solo el algoritmo, sin explicación de su origen o justificación más allá del "funciona".

Este simple procedimiento revela algo que resulta fundamental en la teoría de Galois y aledaños (como los trabajos de Lagrange, Abel, Ruffini): las incógnitas son expresiones con operaciones normales más raíces, de los coeficientes. Y los coeficientes son expresiones de las raíces. Y son expresiones simétricas a las raíces: s es la suma de x y, como la suma de y x. Lo mismo el producto.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 3 de Julio, 2016, 15:41

Tiempo de escribir las resoluciones personales para el nuevo mes, y repasar las de junio:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de números [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman [pendiente]
- Comenzar una serie sobre los azulejos de Wang [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Además estuve escribiendo sobre:

Libro: Abstract Algebra Structure and Application, de Finston y Morandi
Libro: Abstract Algebra, de Carstensen, Fine, Rosenberg (1) (2) (3) (4) (5)

Quiero seguir con las mismas resoluciones, a ver si puedo avanzar sobre temas que tengo atrasados:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de números
- Continuar mi serie sobre la hipótesis de Riemman
- Comenzar una serie sobre los azulejos de Wang
- Estudiar blues en guitarra

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 1 de Julio, 2016, 14:41

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Pasemos al capítulo cuarto, con polinomios y anillos de polinomios.

Chapter 4 Polynomials and Polynomial Rings

El tema polinomios es un gran ejemplo de anillos. En el capítulo anterior, se vió que si K era cuerpo, K[x] era dominio de factorización única. En este capítulo, se presentan los polinomios sobre un anillo R[x] y se ve que si R es un DFU (dominio de factorización única) entonces R[x] es un DFU (pienso que estos resultados se remontan a trabajos de Gauss).

Primero se muestra que siendo R anillo conmutativo con unidad, entonces R[x] es anillo conmutativo con unidad. Es intersante lo frutífera que es esta forma de "generar" nuevos anillos. Se consideran polinomios irreducibles a los elementos irreducibles de R[x].

Se examinan con más detalle los F[x] cuando F es un campo. Se muestra que F[x] es entonces un dominio de integridad. Existe algoritmo de división en F[x], entonces F[x] es un dominio de ideales principales, y F[x] es un DFU.

Cuando se pasa a R[x] con R dominio de integridad, se presentan los polinomios primitivos: polinomios cuyos coeficientes no tienen un común divisor que no sea una unidad. Este es el tema que pienso introdujo Gauss. Ver mi serie Polinomios primitivos.

Notablemente, cuando R es dominio de integridad, K su cuerpo de fracciones, cada irreducible f(x) de R[x] es primitivo. Y todavía más, si f(x) es primitivo E irreducible en K[x] entonces es irreducible en R[x]. 

Hay un resultado de Gauss: la multiplicación de polinomios primitivos da un nuevo primitivo, si R es un DFU. Hay varios resultados sobre irreducibilidad, primitividad, en R y K. Es notable que un polinomio es irreducible en R[x], entonces también es irreducible en K[x], por más que parezca que en K[x] hay más polinomios para hacer la reducción. Y finalmente, se llega al resultado de Gauss: si R es DFU, entonces R[x] es DFU.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez