Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Julio, 2016, 14:41

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Pasemos al capítulo cuarto, con polinomios y anillos de polinomios.

Chapter 4 Polynomials and Polynomial Rings

El tema polinomios es un gran ejemplo de anillos. En el capítulo anterior, se vió que si K era cuerpo, K[x] era dominio de factorización única. En este capítulo, se presentan los polinomios sobre un anillo R[x] y se ve que si R es un DFU (dominio de factorización única) entonces R[x] es un DFU (pienso que estos resultados se remontan a trabajos de Gauss).

Primero se muestra que siendo R anillo conmutativo con unidad, entonces R[x] es anillo conmutativo con unidad. Es intersante lo frutífera que es esta forma de "generar" nuevos anillos. Se consideran polinomios irreducibles a los elementos irreducibles de R[x].

Se examinan con más detalle los F[x] cuando F es un campo. Se muestra que F[x] es entonces un dominio de integridad. Existe algoritmo de división en F[x], entonces F[x] es un dominio de ideales principales, y F[x] es un DFU.

Cuando se pasa a R[x] con R dominio de integridad, se presentan los polinomios primitivos: polinomios cuyos coeficientes no tienen un común divisor que no sea una unidad. Este es el tema que pienso introdujo Gauss. Ver mi serie Polinomios primitivos.

Notablemente, cuando R es dominio de integridad, K su cuerpo de fracciones, cada irreducible f(x) de R[x] es primitivo. Y todavía más, si f(x) es primitivo E irreducible en K[x] entonces es irreducible en R[x]. 

Hay un resultado de Gauss: la multiplicación de polinomios primitivos da un nuevo primitivo, si R es un DFU. Hay varios resultados sobre irreducibilidad, primitividad, en R y K. Es notable que un polinomio es irreducible en R[x], entonces también es irreducible en K[x], por más que parezca que en K[x] hay más polinomios para hacer la reducción. Y finalmente, se llega al resultado de Gauss: si R es DFU, entonces R[x] es DFU.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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