Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 8 de Julio, 2016, 15:47

En estos días estoy estudiando la teoría de Galois (ver Teoría de Galois) y una de mis fuentes es el excelente libro Galois Theory, de Edwards. Hoy encuentro en este texto una descripción interesante de cómo resolvían los babilonios la ecuación de segundo grado en una variable.

En realidad, resolvían un problema que tiene relación. Dados dos números s y p, sabiendo que uno es la suma de dos números no conocidos:

Y otro es el producto de esos dos números:

Encontrar el valor de x y de y. Podemos llamar a este problema, la forma normal de la ecuación de segundo grado. ¿Por qué? Si multiplicamos s por x:

Pero xy es igual a p, entonces:

Quedando:

Que es la expresión de la ecuación de segundo grado que nos enseñaban en el colegio. Los babilonios no podían transformar toda ecuación de segundo grado a la forma normal, porque no manejaban los números negativos. Es un interesante tema histórico que, para esos casos, planteaban una "segunda" forma normal, donde se daba LA RESTA y la multiplicación de las dos incógnitas, en vez de la suma y la multiplicación.
¿Cómo resolvían el problema normal? Con un procedimiento, un algoritmo:

- Tomar la mitad de s
- Elevar el resultado al cuadrado
- Substraerle p
- Tomar la raíz cuadrada
- Agregar la mitad de s. Ese es uno de los dos números buscados. El otros es s menos este número

Ejemplo, sea s, la suma, igual a 10. Y p, el producto, igual a 21. Entonces, siguiendo los pasos, obtenemos sucesivamente: 5, 25, 4, 2, 7. El siete es una de las incógnitas. La otra es 10 – 7 = 3. Esas son las raíces buscadas.

Esto lo usaban alrededor de 1700 años A.C. Es notable. Edwards cita como fuente a Neugebauer, "The Exact Sciences in Antiquity" (creo que yo tenía una edición de Eudeba o del Fondo de Cultura Económica, pero no la encuentro). No sabemos cómo llegaron los babilonios a este resultado, que si lo seguimos paso a paso, resulta en nuestra familiar fórmula:

Lo único que queda es imaginar a un genio que llegó a este resultado, y luego quedó solo el algoritmo, sin explicación de su origen o justificación más allá del "funciona".

Este simple procedimiento revela algo que resulta fundamental en la teoría de Galois y aledaños (como los trabajos de Lagrange, Abel, Ruffini): las incógnitas son expresiones con operaciones normales más raíces, de los coeficientes. Y los coeficientes son expresiones de las raíces. Y son expresiones simétricas a las raíces: s es la suma de x y, como la suma de y x. Lo mismo el producto.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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