Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 9 de Julio, 2016, 16:44

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Hoy comienza otro tema de matemáticas, fascinante, que siempre va volviendo a mi radar en las últimas tres décadas. Me refiero a la teoría de Galois, y su demostración de la no existencia de una fórmula general para la resolución de la ecuación de grado cinco o superior. Galois fue precedido por Abel, aunque con resultados algo distintos. Y se valió de la extensión de ideas de Lagrange.

Tengo que confesar que no es fácil exponer los resultados de Galois, al menos en su forma original. La mayor parte de mis fuentes (mencionadas al final de este post), se basan en la exposición moderna, sobre ideas de Dedekind, y abandonan el camino original de Galois, tal vez menos general, pero también con cierto encanto.

Comencemos escribiendo la factorización de la ecuación de segundo grado con dos soluciones, dos raíces:

Vean que al expandirla, encontramos un polinomio mónico:

Podemos escribir:

Haciendo s como la suma de las raíces:

Y p como el producto de las raíces

Como expuse en mi post de ayer. Es decir, LOS COEFICIENTES de la ecuación desarrollada, SON FUNCIONES DE SUS RAICES. Y no sólo son funciones de las raíces, sino que también son funciones simétricas de esas raíces. ¿Qué quiere decir "simétrica"? Que aún cambiando el orden de las raíces, los valores de los coeficientes son los mismos:

Y

Esto es una pista fundamental. De alguna forma los coeficientes dependen de las raíces de una forma especial. Por otro lado, en la ecuación de segundo grado (y en las de tercero y cuarto), es posible expresar las raíces como funciones de los coeficientes:

Y

Es decir, buscamos que las raíces de una ecuación sean funciones racionales y con alguna extracción de raíces de los coeficientes de la ecuación:

Lo que Galois mostró es que no hay funciones así, de los coeficientes, que nos den, de forma genérica, las raíces para las ecuaciones de quinto o superior grado, usando operaciones como suma, resta, multiplicación, división y toma de raíces de cualquier grado. Ese es el camino a investigar y recorrer, las ideas de Galois (y otros, como Lagrange, Abel, Ruffini…) que llevaron a estos resultados.

Lo que sí siempre es cierto, que los coeficientes de la ecuación son FUNCIONES SIMETRICAS de las raíces. Es más, veremos que toda expresión simétrica sobre las raíces, se puede expresar como función simple de los coeficientes. Ese fue uno de los primeros resultados importantes en el camino largo que tenemos que recorrer.

Mis principales fuentes:

Galois Theory, de Edwards. Excelente libro, que sigue el camino original de Galois, incluso incluye una traducción de su memoria fundamental.

Galois Theory, de Artin y otros. Más matemático y árido, no parece que lo necesite mucho para los posts que vienen.

Algebra Moderna, de Birkhoff, Mc Lane, sus dos últimos capítulos tratan de números algebraicos y teoría de Galois.

Teoría de Cuerpos y Teoría de Galois, de Ana M. de Viola-Prioli, y Jorge E. Viola-Prioli, un libro bien llevado, con detalles, aunque siguiendo el camino Dedekind.

Fields and Galois Theory, de JS Milne, libro bien matemático, algo árido pero sólido.

Fields and Galois Theory, de Patrick Morandi, un libro bien desarrollado, con bastante detalle y ejemplos, pero que tengo pendiente de estudiar

Lectures in Abstract Algebra, II, Theory of Fields and Galois Theory, de Nathan Jacobson, como el anterior, buen desarrollo, ejemplos, y temas complementarios.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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