Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 10 de Julio, 2016, 15:09

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Veamos de examinar por qué se pudo resolver la ecuación de segundo grado. Recordemos que tenemos dos raíces:

Si expandimos su desarrollo, quedan los coeficientes:

Donde esos coeficientes son funciones simétricas de las raíces:

y

Esto es notable y fundamental: cuando expandamos el desarrollo de cualquier ecuación mónica de grado n, sus coeficientes resultarán ser funciones simétricas de sus raíces. Son simétricas porque son funciones que dan el mismo resultado si permutamos las raíces. Es decir:

y

Notablemente las raíces pueden ser irracionales, y los coeficientes ser racionales, como en:

Si multiplicamos y sumamos funciones simétricas, obtenemos funciones simétricas. De alguna forma TODOS los números que podemos obtener desde los coeficientes,  son entonces funciones simétricas de las raíces. Más adelante demostraremos que todas las funciones simétricas de las n raíces pueden expresarse a partir de los coeficientes. Pero para las primeras exploraciones del problema no hace falta esa demostración, que es notable igualmente.

Pero veamos ahora de obtener una expresión para la primera raíz:

No parece ser muy interesante. Pero podemos tratar que la parte derecha se base en expresiones simétricas de las raíces. Un avance:

Al menos ahora (x1+x2) es una expresión simétrica de las raíces. Pero (x1-x2) no es simétrica. Acá aparece el truco de introducir un radical, una raíz cuadrada:

Ahora, el cuadrado de (x1-x2) sí es simétrica:

Podemos usar la expresión de los coeficientes. Y entonces es igual a:

Queda una raíz expresada en función de los coeficientes, apelando al uso de una raíz cuadrada apropiadamente usada:

La otra raíz se puede obtener de:

Quedando

Esta es el camino por el que hay UNA FORMULA general para las raíces de la ecuación de segundo grado: armamos una expresión compuesta de expresiones simétricas de las raíces, las expresamos como resultado de operaciones sobre los coeficientes, agregamos un radical, y tenemos nuestra fórmula general. Veremos en el próximo post un camino similar para obtener una fórmula general para la ecuación genérica de tercer grado.

Hay que destacar que es la introducción de un radical el que permite que las raíces "vayan más allá" de los racionales. Sin el radical, todas las raíces de ecuaciones de coeficientes racionales, serían racionales. Es el uso del radical el que permite "extender" el campo de los números de base. En general partiremos del campo de los racionales, o sea, los coeficientes serán racionales. Pero bien podemos tener coeficientes reales o complejos, y las "fórmulas generales" funcionarían igual.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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