Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Julio, 2016, 7:14

En estos días comencé a escribir sobre la teoría de Galois, un tema fascinante y hasta hermoso. En su historia se ve el primer florecimiento de conceptos de álgebra abstracta que hoy tenemos en tantas partes, con estructuras y sus relaciones. Pero una cosa es cómo se explica hoy el tema, y otra algo diferente es cómo se inición, con una memoria de Galois.

Encuentro esa memoria (traducida al inglés, escrita alrededor de 1829), en el excelente libro Galois Theory, de Edwards. Hay una interesante sinopsis, también, y ahí encuentro explicado la diferencia de énfasis entre el desarrollo inicial de Galois y el más moderno hoy difundido. Mientras que Galois se centra en estudiar las permutaciones de las raíces de una ecuación, hoy se toma otro camino equivalente:

The Dedekindian tradition, which has dominated algebra for the last century, formulates basic Galois theory somewhat differently. A group is associated not to an equationf (x) = 0 with coefficients in K but to a normal extension field L of K. The group, denoted Ga!(L/K), associated to the normal extension L  K is all automorphisms of L which leave elements of K fixed. As was seen above, the Galois group of f(x) = 0 over K is isomorphic to Gal(L/K), where L = K(a, b, c,...) is the splitting field of f over K, and where the isomorphism is given simply by restricting automorphisms in Gal(L/K) to the n-element subset {a, b, c,...} of L.

The advantage of this formulation is that it shows that the group depends (up to isomorphism) only on the splitting field. In particular, the group of an equation f(x) = 0 which has multiple roots can be defined in the same way as that of an equation with simple roots, whereas Galois' definition assumes simple roots. The advantage of Galois' original formulation is that it defines the group in a way that makes evident the crucial fact that extendint the field K reduces (or leaves unchanged) the Galois group...

Al comienzo de mi serie sobre el tema, voy a tratar de seguir el camino de Galois (y sus predecesores, como Lagrange), pero luego seguramente tendré que expresarme en términos de automorfismos de cuerpos y demás.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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