Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 6 de Agosto, 2016, 16:03

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Veamos hoy de mostrar el teorema:

Los autovectores correspondientes a autovalores distintos de un operador hermítico, son ortogonales.

Apenas hemos empezado insinuar, en el post anterior, los autovalores de operador hermítico, con algo físico: los valores posibles de una magnitud física. Como magnitud, toma valores reales. Y los autovalores de un operador hermítico son reales. Cada autovalor tiene asociado un subespacio vectorial de autovectores. Lo que queremos mostrar con el teorema de arriba que los espacios vectoriales de autovalores distintos de un mismo operador, dan 0 cuando se multiplican usando la multiplicación interna de vectores.

Sea un operador A y dos autovectores, autovalores:

Y

Sea ese operador A hermítico, recordemos que entonces cumple:

Para cualesquiera pares de vectores. De esta relación deducimos:

Se sigue:

Sustituyendo por los autovalores:

Pero a2 es real, por ser autovalor de un operador hermítico, entonces:

También sabemos que:

Quedando:


Si a1 es distinto de a2, entonces los autovectores son ortogonales:

Va surgiendo toda una serie de propiedades relacionados con los operadores hermíticos. Notablemente, estos operadores representan las variables físicas. Es algo extraño: mientras que los vectores representan estados de un sistema físico, al usar operadores sobre los vectores, es como que le "extraemos" una variable física por CADA operador hermítico adecuado.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia