Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 13 de Agosto, 2016, 17:42

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En el post anterior vimos que autovalores distintos de un operador hermítico corresponden a autovectores que son ortogonales entre sí. Eso nos brinda la esperanza de poder expresar todos los vectores de estados por una base de autovectores ortogonales. Pero no nos apresuremos. Examinemos el tema.

Primero ¿qué pasa si los autovalores son iguales y corresponden a autovectores distintos, linealmente independientes? Entonces, esos dos autovectores se pueden reemplazar por un par que sea ortogonal. En general, se deja un autovector sin cambio, y el otro se ajusta hasta que sea ortogonal al primero. En espacios vectoriales eso se puede hacer. Ahora bien, las combinaciones lineales de los dos autovectores originales, y las de los dos nuevos autovectores ortogonales COMPARTEN EL MISMO AUTOVALOR del que habíamos partido.

Con esto tenemos:
- Hay casos donde un autovalor tiene un solo autovector independiente, y todos los múltiplos de este autovector, son autovectores del autovalor original
- Hay casos donde un autovalor tiene varios autovectores linealmente dependientes, que forman un subespacio vectorial donde todos los vectores son autovectores del autovalor original, y siempre se puede tomar una base ortogonal de autovectores

En varios textos aparece que, teniendo los autovalores, y los autovectores correspondientes ortogonales, se puede expresar asi todo vector de estado. Ese conjunto de autovectores se llama entonces completo. Es decir, forman una base que genera todo el espacio vectorial de estados posibles.

En los próximos posts examinaremos si este es el caso (resultará que no es verdad en general, porque hay espacios de infinitas dimensiones donde esto no se cumple).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia