Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 21 de Agosto, 2016, 18:14

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Vimos en los post anteriores, cuando examinamos el caso espectro continuo, que se cumple:

Y

Lo notable, entonces, es que AMBAS funciones:

Representan el estado físico subyacente. Mientras que una es función de las coordenadas, la segunda es función de los valores posibles de la magnitud que estemos estudiando. Si conocemos una, conocemos la otra (provistas las autofunciones de f).

Esto es parte de la "magia" de la mecánica cuántica que estamos estudiando. Aclaremos algo de las autofunciones. En las expresiones de arriba, aparecen

,

Las primeras son las autofunciones de f en la representación q, mientras que las segundas son las autofunciones de q en la representación f. Es algo enrevesado, pero espero que vaya quedando más claron con el tiempo. Mientras, tratemos de responder un tema, ¿qué representan las funciones de las dos primeras ecuaciones de arriba?

Pues bien, la expresión:

Expresa la probabilidad de que el sistema tenga coordenadas dentro de un dq dado, es decir, se integra:

Mientras que, de forma análoga:

Expresa la probabilidad de que el sistema encuentre a la magnitud f en un df dado.

Notablemente, hay magnitudes físicas que pueden tener espectro continuo para un dominio de sus valores, y en otro dominio tener espectro discreto. Por ejemplo, un electrón ligado a un átomo exhibe un espectro discreto de energías, mientras que el mismo electrón, libre, puede tener un espectro continuo de energía. En un caso así, donde el sistema puede tener ambos espectros, una función de onda arbitraria se expresaría por un "mix" de:

Un ejemplo que exhibe espectro continuo, son los valores de las coordenadas q. Para conseguir su valor medio, basta multiplicar por q dentro de la integral:

Si recordamos nuestra definición de operador, que era algo que dado una función retorna una función:

El concepto de operador nos sirve para "estrujar" a la función de onda, y conseguir un resultado físico, en este caso, el valor medio de una magnitud, dentro de un dq (cuando las funciones de ondas están en representación de coordenadas q). Todo esto nos hace ver que el operador que hay que usar para conseguir el valor medio de las coordenadas es:

Es decir, simplemente multiplicar por q.

Para determinar las funciones propias (autofunciones) de las coordenadas, hay que trabajar sobre CADA punto de las coordenadas. Cada uno de esos puntos posibles tiene una función propia asociada. Se resuelve para cada punto q0, la ecuación:

Esto se cumple para:

O para:

Entonces es claro que:

Ha sido un largo camino de posts, pero todavía no tenemos una pista de cómo es en concreto una función de ondas, su expresión en coordenadas o en otra representación. Para conseguir esa expresión, no nos alcanza las matemáticas: tenemos que apelar a alguna pista física. Fue Schrodinger quien encontró una expresión. Ya comienza a ser tiempo de comentar algo sobre el tema, en los próximos posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: Ciencia