Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 28 de Agosto, 2016, 8:45

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En el anterior post, usamos las igualdades:


Para resolver la ecuación cuadrática. Lo interesante de la última expresión, es que es SIMETRICA ante las permutaciones de las raíces, y entonces, vimos que era expresable como función de los coeficientes de la ecuación original. ESTA PROPIEDAD todavía no la demostramos: pero todo polinomio simétrico de las raíces, se PUEDE EXPRESAR como polinomio de los coeficientes de la ecuación. En el caso anterior, pudimos llegar a:

Veamos de seguir un camino parecido en la resolución de la ecuación cúbica. Primero, vamos a tener tres raíces, digamos x1, x2, x3. Segundo, en vez de un radical de raíz cuadrada, aparecerá un radical de raíz cúbica. Y así como:

Tiene dos soluciones:

También entonces:

Tendrá TRES soluciones:

Donde alfa es una raíz cúbica primitiva de 1. Es decir:

Este alfa es solución de:

La expresión candidata para resolver la ecuación cúbica es similar a la de la cuadrática, y es:

Es interesante ver que la expresión de la derecha es SIMETRICA en las raíces, es decir, da el mismo resultado ante cualquier permutación de las raíces. Si intercambiamos x2 por x3, el resultado es el mismo.
Hay que tener en cuenta que la raíz cúbica NO SE CANCELA con la elevación al cuadrado. Al extraer raíz cúbica, vimos que podemos obtener TRES resultados distintos por cada valor que aparezca bajo la raíz.

El próximo paso es ver cómo todo esto se puede obtener como expresión de los coeficientes de la ecuación cúbica, así como antes habíamos usado los coeficientes de la ecuación cuadrática. Al fin, todas las fórmulas para resolver las raíces, deben de alguna forma partir de lo conocido, los coeficientes. Así hacíamos en el colegio cuando resolvíamos los ejercicios de la cuadrática.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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