Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 30 de Agosto, 2016, 7:31

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Sabemos que la hipótesis de Riemann tiene algo que ver con la distribución de los primos. Ya aparecieron algunas series de sumas de inversos de naturales vs sumas de inversos de primos. Vimos que la sumatoria:

Puede expresarse como:

Donde p va recorriendo los números primos. (ver post)

Ese es un gran logro de Euler. Pero no se quedó ahí. También fue por más, con gran uso de su imaginación, y dando algunos saltos que hoy serían criticables. Veamos lo que hizo. Primero sacó logaritmo natural:

Luego, sabiendo que la expansión en serie del logaritmo natural es:

(fórmula debida a Mercator, que da la serie de Taylor, ver Natural Logarithm)

Queda que:

Agrupando por coeficientes:

Podemos poner para abreviar las sumatorias, letras A, B, C… quedando:

Ahora bien, B, C y demás, CONVERGEN. Porque, por ejemplo:

Y la serie de la derecha CONVERGE (un punto a demostrar más detenidamente). Entonces:

Donde K es una cierta constante. Este paso es delicado, pero la idea es ver que B > C > D…. y que la serie de sumas con factores ½, 1/3, ¼…. Termina convergiendo.

Pero la serie original, la serie armónica, la suma de los inversos de los números naturales, diverge. Entonces también diverge su logaritmo natural. Entonces A+K diverge. Pero K es una constante acotada. Queda que A diverge:

Entonces hay infinitos primos. Pues si hubiera una cantidad finita de primos, la suma de sus inversos no divergiría.

Pero Euler fue más allá. Invocó que:

Es decir, es el logaritmo natural de infinito. Porque

Con x = 1. Entonces, queda

En realidad, decimos que cuando x tiende a uno, la serie de la derecha diverge. Euler concluye:

Esto da alguna pauta de cómo van creciendo los primos. Seguramente Euler tenía en mente que la suma de los recíprocos de los primos MENORES que N, se acerca asintóticamente a log(log(n)).

Esta es la primera vez que aparece en esta serie de post, una relación entre una fórmula y los primos menores que n.

Ver también:

http://people.reed.edu/~jerry/131/nextprime.pdf
http://www.cut-the-knot.org/proofs/AfterEuler.shtml 
http://math.stackexchange.com/questions/487491/eulers-formula-for-primes
https://www.youtube.com/watch?v=r5F8fZS8bRU

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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