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Septiembre del 2016
Publicado el
30 de Septiembre, 2016, 14:26
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En el anterior post, comentaba que Dirac tenía un ejemplo de aplicación de los dos métodos que proponía, sobre el mismo tema. El ejemplo es el de la mecánica cuántica:
Whether one follows the experimental or the mathematical procedure depends largely on the
subject of study, but not entirely so. It also depends on the man. This is illustrated by the discovery of quantum mechanics.
Two men are involved, Heisenberg and Schrodinger. Heisenberg was working from the experimental basis, using the results of spectroscopy, which by 1925 had accumulated an enormous amount of data. Much of this was not useful, but some was, for example, the relative intensities of the lines of a multiplet. It was Heisenberg's genius that he was able to pick out the important things from the great wealth of information and arrange them in a natural scheme. He was thus led to matrices.
Schrodinger's approach was quite different. He worked from the mathematical basis. He was not well informed about the latest spectroscopic results, like Heisenberg was, but had the idea at the back of his mind that spectral frequencies should be fixed by eigenvalue equations, something like those that fix the frequencies of systems of vibrating springs. He had this idea for a long time, and was eventually able to find the right equation, in an indirect way.
Yo igual mencionaría que el trabajo de Heisenberg también partía de un modelo matemático, el desarrollo en serie de Fourier y aledaños, para sí. basado en los datos experimentales, proponer un salto en ese modelo.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
29 de Septiembre, 2016, 17:24
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Dirac describe dos métodos para aplicar en la física teórica. El segundo hace énfasis en los modelos matemáticos de las teorías físicas. Distingue dos caminos en este método:
- Eliminar las inconsistencias
- Unir teorías que estaban separadas
Para el primer camino recuerda éxitos en la historia, como el trabajo de Maxwell que trabajando sobre lo que se conocía en su tiempo sobre el electromagnetismo y sus inconsistencias en ecuaciones, introduce la corriente de desplazamiento que lo lleva a la teoría de las ondas electromagnéticas. O el estudio de Plank de las dificultades de la radiación de cuerpo negro que lo llevó a la introducción de su famosa constante. Años más tarde, Einstein notó una dificultad en la descripción del equilibrio de un átomo inmerso en radiación de cuerpo negro, e introdujo la emisión estimulada, que permitió el desarrollo de los láseres. Pero el supremo ejemplo que expone, es el de la teoría de la gravitación de Einstein, que logró conciliar la gravitación de Newton con las nuevas ideas de la relatividad especial, y hasta explicar la anómala órbita de Mercurio.
En cambio, según Dirac, el segundo método no ha resultado tan fructífero. Cita el fracaso de Einstein tratando de unificar por años el electromagnetismo con la gravedad. Como no ve que en el caso de teorías disjuntas haya alguna clara anomalía a resolver, ve que si el éxito en la unificación se alcanza alguna vez es por medio de caminos indirectos.
Luego vuelve a comparar los métodos basados en experimentación y en modelos matemáticos. Piensa que cuál camino tomar depende en gran medida del campo de estudio. Si este campo es nuevo, es más provechoso dedicarse a la experimentación para ir teniendo más datos reales sobre los que edificar un futuro modelo matemático. Sin embargo, cita como ejemplo de uso de los DOS métodos sobre un mismo campo, a la historia de la mecánica cuántica.
Tema para próximo post.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
28 de Septiembre, 2016, 13:27
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Dirac hace diferencia en cuál de los dos métodos aplicar, según el tema de estudio. Si éste es un tema del que se sabe poco, prefiere encarar el método experimental. Al principio uno va coleccionando datos, de los experimentos. Como ejemplo pone el desarrollo del sistema periódico de los elementos, que culminó en el siglo XIX. En el comienzo, se fueron conociendo datos experimentales, y sólo cuando abundante información, se pudo poner algún orden a esos datos. Cuando en el sistema que se fue armando, había un agujero (faltaba un átomo) la confianza adquirida con los datos y el sistema periódico permitió predecir el llenado de ese agujero con un nuevo átomo.
Dirac menciona como situación similar a la de la física de partículas de altas energías (dicta la conferencia en 1968). Ya hay una confianza en el modelo armado, de tal manera que cuando parece que hay un "gap" en ese modelo, se predice una nueva partícula, que finalmente se encuentra (notablemente, la búsqueda de uno de los bosones de Higgs llevó décadas hasta llegar a nuestro siglo).
Cuando se sabe poco de un tema, Dirac llama la atención sobre la especulación. No la desecha, pero nos pone en guardia de no abusar. ¿Y cuál tema pone como especulativo en la física de su tiempo, que prosigue hasta nuestros días? A la cosmología.
Leo:
One field of work in which there has been too much speculation is cosmology. There are very few hard facts to go on, but theoretical workers have been busy constructing various models for the universe, based on any assumptions that they fancy. These models are probably all wrong. It is usually assumed that the laws of nature have always been the same as they are now. There is no justification for this. The laws may be changing, and in particular quantities which are considered to be constants of nature may be varying with cosmological time. Such variations would completely upset the model makers.
Es notable la idea de considerar que las leyes no son constantes. Es un tema más que interesante, y no sé cuál es el estado actual de la cuestión. Con las ideas de unificación de las fuerzas, se pone un modelo donde las fuerzas convergen a grandes energías. Pero habría que explorar también todas las consecuencias de considerar que las leyes actuales no fueron siempre las mismas. Por ejemplo, tal vez podrían explicarse los cuásar, al poner que en un tiempo pasado las constantes de acoplamiento de las fuerzas conocidas eran distintas.
En próximo post, comentaré sobre Dirac y sus ideas de la aplicación del segundo método, el matemático.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
27 de Septiembre, 2016, 14:16
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Publicado el
26 de Septiembre, 2016, 14:04
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Hace pocos días recordaba una conferencia en Trieste, de Dirac, que encuentro en un volumen junto con un texto de Adbus Salam y Heisenberg (ver Inconsistencias en teorías físicas). Es interesante que en esa conferencia, titulada Métodos en Física Teórica, Dirac plantea que hay dos métodos:
I shall attempt to give you some idea of how a theoretical physicist works - how he sets about trying to get a better understanding of the laws of nature.
One can look back over the work that has been done in the past. In doing so one has the underlying hope at the back of one's mind that one may get some hints or learn some lessons that will be of value in dealing with present-day problems. The problems that we had to deal with in the past had fundamentally much in common with the present day ones, and reviewing the successful methods of the past may give us some help for the present.
One can distinguish between two main procedures for a theoretical physicist. One of them is to work from the experimental basis. For this, one must keep in close touch with the experimental physicists. One reads about all the results they obtain and tries to fit them into a comprehensive and satisfying scheme.
The other procedure is to work from the mathematical basis. One examines and criticizes the
existing theory. One tries to pin-point the faults in it and then tries to remove them. The difficulty here is to remove the faults without destroying the very great successes of the existing theory.
There are these two general procedures, but of course the distinction between them is not hard-and-fast. There are all grades of procedures between the extremes.
Es interesante discutir esta distinción de Dirac. El trabajar desde lo matemático no es sencillo, y no siempre es posible. En próximo post, mencionaré cuándo Dirac recomienda uno u otro métodos.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
25 de Septiembre, 2016, 11:54
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La mecánica cuántica debe coincidir con la física clásica en los casos límite. Se puede decir que la cuántica contiene a la clásica, así como la relatividad einsteniana contiene a la física newtoniana. Hemos visto en estos posts que en la mecánica cuántica el estado de un sistema físico se describe con una función de onda. Así, un electrón se describe por una función de onda, perdiéndose el concepto clásico de trayectoria. Las coordenadas del electrón (parte de su estado) está como desperdigado, ya no tiene valores concretos que dependan del tiempo. Ahora esas coordenadas y otros estados, se deben extraer desde la función de onda. Y así como la función de onda representa el estado, hay operadores lineales que actúan sobre la función de onda para obtener, extraer los valores de algunas magnitudes físicas. No hemos visto un ejemplo concreto ni de operador ni de función de onda. Veamos un camino para conseguir una función de onda que en el límite se aproxime a la formulación clásica.
En la mecánica clásica, entonces, un electrón tiene trayectoria, y en la mecánica cuántica, no la tiene. Hay una relación similar en física clásica, entre la óptica de ondas y la óptica geométrica. En la óptica ondulatoria se definen ondas electromagnéticas, usando los vectores de los campos eléctrico y magnético. Estos vectores satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, las ecuaciones de Maxwell. En cambio, en la óptica geomética, la luz se propaga en rayos. Podemos plantear una analogía entre el paso al límite de la cuántica a la clásica. Podemos plantear que ese paso es análogo a lo que se hace al pasar de la óptica ondulatoria a la geométrica.
¿Cómo se hace este paso en óptica? La óptica geométrica estudia la propagación de las ondas electromagnéticas (como la luz), como propagación de rayos. Si la onda que estamos considerando fuera plana (sus componentes dependen solo del tiempo y de la dirección de propagación, que podemos tomar como el eje x en sentido positivo), los rayos son tangentes a la dirección de propagación. Se pueden considerar ondas planas cuando la longitud de onda es muy chica.
Pero todo esto merece un tratamiento más detallado. El campo electromagnético se define por un campo eléctrico E y un campo magnético H. Cada uno de esos campos es vectorial, es decir, por cada valor de las coordenadas (espaciales y tiempo) queda definido un vector eléctrico y un vector magnético. Estos vectores se pueden derivar de otro campo, el llamado campo potencial A, y de ecuaciones de Maxwell que los relacionan. Pero por ahora, ocupémonos de la expresión de cualquier componente de los vectores E y H.
Sea f una de esas componentes, entonces, en óptica ondulatoria, se sabe que:
Al coeficiente
Se lo llama amplitud, y depende de las coordenadas espaciales y el tiempo. Se supone que varía lentamente en el tiempo. Al exponente:
Se lo llama fase o iconal, y también es función de las coordenadas espaciales y el tiempo. Pero lo importante ahora, es que varía rápidamente si la longitud de onda es corta. En el caso de una onda plana, la fase tiene una expresión simple:
Donde k es un vector, llamado vector de onda. Y r es el vector posición.
En el próximo post seguiremos estudiando este camino, el paso de la óptica ondulatoria a la geométrica, y la analogía con el caso cuántico.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
24 de Septiembre, 2016, 11:59
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Ya comenté sobre el primer encuentro de Heisenberg con Niels Bohr en:
Bohr y Heisenberg, Primer Encuentro
Bohr según Pauli y Heisenberg
Luego de la conferencia de Bohr, Heisenberg plantea sus dudas sobre el estado de algunos problemas. Leo en la conferencia que dio en Trieste, en 1968 (mencionada en el libro de Abdus Salam, La unificación de las fuerzas fundamentales, que mencioné en P.A.M.Dirac, por Abdus Salam):
After two years of study, in the summer of 1922, Sommerfeld asked me whether I would be willing to follow him to a meeting at which Bohr would present his theory in Gottingen. These days in Gottingen we now always refer to as the "Bohrfestival". There for the first time I learned how a man like Bohr worked on problems of atomic physics. When Bohr had given two of his lectures I dared once in a discussion to utter some criticism; I just mentioned some doubts, whether the formulae of Kramers which he had written on the blackboard could be exact. I knew from our discussions in Munich that we always get formulae which are half exact, which are partly right and partly not right so I felt that it was never too certain. Bohr was very kind and in spite of the fact that I was a very young student, he asked me for a long walk on the Hainberg near Gottingen to discuss the problem.
Heisenberg apuntaba bien en sus dudas. Así comenzó a conocer a Bohr y su estilo:
I feel it was then that I felt I really learned what it means to work on an entirely new field in theoretical physics. The first, for me quite shocking experience was that Bohr had calculated nothing. He had just guessed his results. He knew the experimental situation in chemistry, he knew the valencies of the various atoms and he knew that his idea of the quantization of the orbits or rather his idea of the stability of the atom to be explained by the phenomenon of quantization, fitted somehow with the experimental situation in chemistry. On this basis he simply guessed what he then gave us as his results. I asked him whether he really believed that one could derive these results by means of calculations based on classical mechanics. He said "Well, I think that those classical pictures which I draw of the atoms are just as good as classical pictures can be" and he explained it in the following way. He said "we are now in a new field of physics, in which we know that the old concepts probably don't work. We see that they don't work, because otherwise atoms wouldn't be stable. On the other hand when we want to speak about atoms, we must use words and these words can only be taken from the old concepts, from the old language. Therefore we are in a hopeless dilemma, we are like sailors coming to a very far away country. They don't know the country and they see people whose language they have never heard, so they don't know how to communicate. Therefore, so far as the classical concepts work, that is, so far as we can speak about the motion of electrons, about their velocity, about their energy, etc., I think that my pictures are correct or at least I hope that they are correct, but nobody knows how far such a language goes".
Esto impresionó mucho a Heisenberg: estaban en un nuevo territorio de la física, y los conceptos clásicos tenían que ser revisados. El propio Heisenberg entonces no manejaba toda la física clásica, era joven, y todo esto influyó para que se animara a explorar nuevas formas de resolver los problemas planteados por Bohr y otros.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
23 de Septiembre, 2016, 14:22
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Publicado el
22 de Septiembre, 2016, 8:51
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Publicado el
21 de Septiembre, 2016, 14:07
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Publicado el
20 de Septiembre, 2016, 10:30
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Estoy repasando mis lecturas sobre la unificación de fuerzas en física, un tema por demás interesante, que abarca la historia, la filosofía de la ciencia física, y la modelación matemática de conceptos. Es un campo que ha resultado fructífero de explorar, pero sin llegar todavía a una teoría completa.
Una de mis lecturas es un texto de Abdus Salam, sobre la unificación, que ya nombré de pasada en otros posts:
P.A.M. Dirac, por Abdus Salam
Entrevista a P.A.M.Dirac, por Abdus Salam
Hoy tengo la versión en inglés de ese texto, y leo:
Dirac described his own life in physics in a lecture he gave in Trieste in 1968. I was reading it last ight and I came across some parts which seem particularly relevant to the theme of unification of fundamental forces. Dirac describes in this lecture how he got his ideas, particularly the distinction between two methods of investigation in theoretical physics.
Creo que ya comenté en algún sobre esos dos métodos. La conferencia de Trieste de Dirac está incluida en el mismo volumen donde está el texto de Abdus Salam, y en español, en un libro de Gedisa editorial.
Una descripción de Salam de esos dos métodos:
According to Dirac, first one may try to make progress by searching for a mathematical procedure for the removal of inconsistencies which may be present in a physical theory like electrodynamics of electrons - 1 shall mention some of Dirac's own work in this connection later and the relevance of his ideas today. Second, one may try to unite theories that were previously disjoint. Dirac says that this second method had not proved very fruitful. He was perhaps speaking from the exasperation felt by many of his generation with attempts that had been made, particularly by Einstein, to unify fundamental theories and which had met with scant success.
Justo el segundo método es el que ha dado interesantes resultados en el pasado siglo. Salam mismo jugó un papel clave en la unificación de la fuerza débil y el electromagnetismo, junto con Steven Weinberg y múltiples aportes de otros. La física moderna es fruto de la colaboración de muchas personas e instituciones.
En una nota, Salam aclara sobre las inconsistencias que menciona Dirac:
The inconsistencies Dirac had in mind referred to the so-called infinity problem. The problem was that all higher-order calculations in quantum field theories yield the result logarithm infinity (log oo). Dirac, before World War II, had suggested that all these inconsistencies can be lumped together into an unobservable "renormalisation" of the electron rest-mass. F. J. Dyson, in 1949, showed that Dirac's conjecture was right for electrodynamics and that all inconsistencies could be incorporated into two "renormalisations", one for the electron rest-mass and the second for the electron charge. Dirac, although he had suggested the idea in the first place, disliked these so-called renormalisable theories. He kept hoping that this last vestige of inconsistency would also disappear eventually, with the final theory emerging as pure as driven snow. In the version of unified superstring theories, where gravity is also united with gauge forces ..., we believe we are in sight of Dirac's goal.
No estoy seguro que Dirac se sintiera cómodo con la teoría de supercuerdas. Pero yo destacaría que Dirac fue un individuo excepcional, con gran intuición física y manejo matemático, y que el resto de la física ha ido avanzando más cercana a la modelización de los resultados experimentales.
Algo mencioné de la postura de Dirac sobre las renormalizaciones en:
El Desarrollo de la Teoría Cuántica, por P.A.M.Dirac (16)
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
19 de Septiembre, 2016, 11:37
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Publicado el
18 de Septiembre, 2016, 15:03
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Publicado el
17 de Septiembre, 2016, 14:32
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Publicado el
16 de Septiembre, 2016, 13:36
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Publicado el
15 de Septiembre, 2016, 14:45
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Hace tiempo que quería escribir sobre el camino de la unificación de fuerzas en la historia de la física. En estos días estoy leyendo el muy buen libro "A First Course in String Theory", de Barton Zwiebach:
For a while, electricity and magnetism had appeared to be unrelated physical phenomena. Electricity was studied first. The remarkable experiments of Henry Cavendish were performed in the period from 1771 to 1773. They were followed by the investigations of Charles Augustin de Coulomb, which were completed in 1785. These works provided a theory of static electricity, or electrostatics. Subsequent research into magnetism, however, began to reveal connections with electricity. In 1819 Hans Christian Oersted discovered that the electric current on a wire can deflect the needle of a compass placed nearby. Shortly thereafter, Jean-Baptiste Biot and Felix Savart (1820) and André-Marie Ampére (1820–1825) established the rules by which electric currents produce magnetic fields. A crucial step was taken by Michael Faraday (1831), who showed that changing magnetic fields generate electric fields. Equations that described all of these results became available, but they were, in fact, inconsistent. It was James Clerk Maxwell (1865) who constructed a consistent set of equations by adding a new term to one of the equations. Not only did this term remove the inconsistencies, but it also resulted in the prediction of electromagnetic waves. For this great insight, the equations of electromagnetism (or electrodynamics) are now called "Maxwell"s equations." These equations unify electricity and magnetism into a consistent whole. This elegant and aesthetically pleasing unification was not optional. Separate theories of electricity and magnetism would be inconsistent.
Yo pondría antes a Newton, que unificó los movimientos cotidianos con los movimientos celestes, que eran mundos separados para Aristóteles. En el próximo post sigo compartiendo el texto de Zwiebach. Como libro, está recomendado para quien, teniendo alguna base matemática, quiera conocer e introducirse en el mundo de la teoría de cuerdas.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
14 de Septiembre, 2016, 11:49
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Publicado el
13 de Septiembre, 2016, 14:02
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Publicado el
12 de Septiembre, 2016, 8:33
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Publicado el
11 de Septiembre, 2016, 9:04
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Ya hemos visto que, dado un conjunto de autovectores, se puede formar un conjunto ortonormal, o sea, el conjunto es:
Donde la expresión de la derecha es el "delta de Kronecker", vale 1 cuando i es igual a j, vale 0, cuando i es distinto de j. Si no fuera el caso, los autovectores de distintos autovalores, se vio que era ortogonales (su producto es 0), y se pueden convertir a ortonormales, convirtiéndolos a "longitud uno". Si son autovectores del mismo autovalor, generan un subespacio donde podemos elegir un conjunto ortogonal que sea base de ese espacio (habría que ver más en detalle el caso de dimensión infinita).
Si este conjunto de autovectores normales ES BASE, se dice que es completo. Esto es, se pueden generar TODOS los vectores de estados como combinación lineal de estos autovectores. Tenemos para un vector cualquiera, que es posible entonces escribirlo como:
¿Cuáles son los coeficientes? Pues basta multiplicar por cada autovector de la base para encontrar:
ESTO ES ASI, porque los autovectores del conjunto SON ORTONORMALES entre sí.
Podemos entonces escribir:
Y agrupando queda:
Lo que muestra que la expresión entre paréntesis es un operador unidad:
Supongamos ahora que un operador lineal tiene autovectores y autovalores, y que los autovalores forman un conjunto completo. Entonces, el operador A cumple:
Para cada autovector tiene un autovalor ai. Bien, se puede comprobar entonces que el operador A se puede expresar en una forma:
Una vez que tenemos el operador expresado de esta forma, podemos definir LA FUNCION de un operador, como
Estos resultados son muy útiles. Hacen que un operador SEA COMO una variable, que puede usarse en funciones. PERO TODO ESTO VALE, si el conjunto de autovectores ES COMPLETO, es decir, si realmente puede ser base de todos los vectores de estado posibles.
¿Pero será ese el caso? Veremos en próximos posts los casos en los que es cierto, y algún caso de contraejemplo, donde los autovectores no forman base.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
@ajlopez
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