Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 11 de Septiembre, 2016, 9:04

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Ya hemos visto que, dado un conjunto de autovectores, se puede formar un conjunto ortonormal, o sea, el conjunto es:

Donde la expresión de la derecha es el "delta de Kronecker", vale 1 cuando i es igual a j, vale 0, cuando i es distinto de j. Si no fuera el caso, los autovectores de distintos autovalores, se vio que era ortogonales (su producto es 0), y se pueden convertir a ortonormales, convirtiéndolos a "longitud uno". Si son autovectores del mismo autovalor, generan un subespacio donde podemos elegir un conjunto ortogonal que sea base de ese espacio (habría que ver más en detalle el caso de dimensión infinita).

Si este conjunto de autovectores normales ES BASE, se dice que es completo. Esto es, se pueden generar TODOS los vectores de estados como combinación lineal de estos autovectores. Tenemos para un vector cualquiera, que es posible entonces escribirlo como:

¿Cuáles son los coeficientes? Pues basta multiplicar por cada autovector de la base para encontrar:

ESTO ES ASI, porque los autovectores del conjunto SON ORTONORMALES entre sí.

Podemos entonces escribir:

Y agrupando queda:

Lo que muestra que la expresión entre paréntesis es un operador unidad:

Supongamos ahora que un operador lineal tiene autovectores y autovalores, y que los autovalores forman un conjunto completo. Entonces, el operador A cumple:

Para cada autovector tiene un autovalor ai. Bien, se puede comprobar entonces que el operador A se puede expresar en una forma:

Una vez que tenemos el operador expresado de esta forma, podemos definir LA FUNCION de un operador, como

Estos resultados son muy útiles. Hacen que un operador SEA COMO una variable, que puede usarse en funciones. PERO TODO ESTO VALE, si el conjunto de autovectores ES COMPLETO, es decir, si realmente puede ser base de todos los vectores de estado posibles.

¿Pero será ese el caso? Veremos en próximos posts los casos en los que es cierto, y algún caso de contraejemplo, donde los autovectores no forman base.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
@ajlopez


Por ajlopez, en: Ciencia