Angel "Java" Lopez en Blog

Octubre del 2016


Publicado el 30 de Octubre, 2016, 16:58

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Veamos hoy otro artículo sobre el tema:

An Introduction to Second Quantization
http://www.phys.lsu.edu/~jarrell/COURSES/ADV_SOLID_HTML/Other_online_texts/Sandeep_Pathak/second_quantization_orig.pdf

Este no parte de la ecuación de Schrodinger, extendida a varias partículas. Se mete directamente en mostrar que hay espacios de Hilbert expandidos a varias dimensiones, una por partícula. En realidad, productos directos de espacios de Hilbert.

Y al considerar dos partículas, trata el caso de la partícula 1 en el estado |1> y la partícula 2 en el estado |2>, y lo desarrolla como multiplicación de funciones. Lo mismo para la partícula 1 en el estado |2> y la partícula 2 en el estado |1>. Llega así una expresión en determinante (el determinante de Slater), para partículas antisimétricas (igual que otros "papers" que examinamos, sólo PONE que hay partículas indistinguibles antisimétricas, los fermiones, y partículas indistinguibles simétricas, los bosones, pero no se detiene a explicar por qué). Llega a expresar dos fermiones como un determinante de Slater, de funciones, de una matriz dos por dos. Luego lo extiende a más fermiones.

Cuando hace el tratamiento de bosones, el resultado es una permanente de Slater.

Luego pasa a la representación de número de ocupación, que parece más intuitiva. E introduce los operadores de creación y destrucción de fermiones y bosones.

Aclara que no se puede observar el momento de una partícula, indistiguible de otras, sólo podemos hablar de las sumas de momentos de las partículas indistinguibles. Termina con algunos ejemplos de aplicación de estas ideas.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 29 de Octubre, 2016, 13:33

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Cisco Leak: 'Great Firewall' of China Was a Chance to Sell More Routers
http://www.wired.com/2008/05/leaked-cisco-do/

Why China went to war against golf
http://www.telegraph.co.uk/culture/books/10877555/Why-China-went-to-war-against-golf.html

China bans use of Microsoft's Windows 8 on government computers
http://www.reuters.com/article/us-microsoft-china-idUSBREA4J07Q20140520

The man who made geography history (Wired UK)
http://www.wired.co.uk/magazine/archive/2014/06/features/liam-casey

Bitcoin Slips Following News Of Fresh Restrictions In China
https://techcrunch.com/2014/04/27/bitcoin-slips-following-news-of-fresh-restrictions-in-china/

Bitcoin in China: A dream dispelled | The Economist
http://www.economist.com/news/finance-and-economics/21600736-chinese-regulators-make-life-hard-crypto-currencies-dream-dispelled

10 Reasons Why Alibaba Blows Away Amazon And EBay
http://www.forbes.com/sites/walterloeb/2014/04/11/10-reasons-why-alibaba-is-a-worldwide-leader-in-e-commerce/#23753b6e2393

Knife-wielding mob kills 27 at China train station - CNN.com
http://edition.cnn.com/2014/03/01/world/asia/china-railway-attack/index.html

Chinese firms flaunt Audis, gold bars, and coffins as year-end bonuses – Quartz
http://qz.com/168055/chinese-firms-flaunt-audis-gold-bars-and-coffins-as-year-end-bonuses/

Franco Macri – LOS PRÉSTAMOS CHINOS
http://francomacri.com.ar/2013/12/los-prestamos-chinos/

Tough talk over China economy causes waves in global markets
http://www.independent.co.uk/news/business/news/tough-talk-over-china-economy-causes-waves-in-global-markets-8672500.html

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Publicado el 28 de Octubre, 2016, 6:39

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Viejos enlaces que me llamaron la atención este siglo:

George Hogg (adventurer) - Wikipedia, the free encyclopedia
http://en.wikipedia.org/wiki/George_Hogg_(adventurer)

China back in action with Long March 2D launch of Gaofen-1
http://www.nasaspaceflight.com/2013/04/china-back-in-action-long-march-2d-gaofen-1/

Ubuntu tapped by China for national operating system • The Register
http://www.theregister.co.uk/2013/03/22/china_makes_linux_os_with_canonical_help/

Células madre: Miles de personas reciben en China tratamientos no aprobados
http://pvalero-criocord.blogspot.com.ar/2012/04/celulas-madre-miles-de-personas-reciben.html

Manufacturing: The end of cheap China | The Economist
http://www.economist.com/node/21549956

Aging nation creates nursing home boom - People's Daily Online
http://english.people.com.cn/90882/7665030.html

The China Startup Report
http://www.slideshare.net/bowei/the-china-startup-report-a-15min-crash-course-by-bowei-gai

What China Would Gain from Europe in Bailing Out Euro Zone - TIME
http://content.time.com/time/world/article/0%2C8599%2C2098362%2C00.html?xid=newsletter-europe-weekly

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Publicado el 27 de Octubre, 2016, 7:45

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Chinese Startups: Everything You Think You Know Is Wrong
http://www.businessinsider.com/when-it-comes-to-startups-in-china-everything-you-think-you-know-is-wrong-2011-10?op=1

Live in Beijing and Thinking about Starting a Tech Company? Read. This. Post. Now
https://techcrunch.com/2011/10/27/live-in-beijing-and-thinking-about-starting-a-tech-company-read-this-post-now/

Marco Polo nunca estuvo en China - CampoDeMarte.com
http://www.campodemarte.com/marco-polo-nunca-estuvo-en-china.html

SBS Dateline | China s Ghost Cities
http://www.sbs.com.au/dateline/story/about/id/601007/n/China-s-Ghost-Cities

Setting Up Representative Offices in China (China Briefing)
http://www.amazon.com/dp/3642160700/?tag=brel-20

The Chinese Roots of Linear Algebra
https://www.amazon.com/Chinese-Roots-Linear-Algebra/dp/0801897556

Crunching the Universe: China Takes World Lead With Fastest Supercomputer
http://www.dailygalaxy.com/my_weblog/2010/10/crunching-the-universe-china-takes-world-lead-with-fastest-supercomputer.html

Apple still trying to crack China - Warc News - Warc
http://www.warc.com/News/TopNews.asp?ID=27373

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Publicado el 26 de Octubre, 2016, 14:35

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Otro texto que tengo que estudiar y entender, es:

Introduction to Second Quantization
http://www.phys.ens.fr/~mora/lecture-second-quanti.pdf

Lo interesante es que muestra cómo sería el tema de múltiples partículas, partiendo de la primera cuantización. Leo:

Part of the complexity in the many-body problem - systems involving many particles - comes from the indistinguishability of identical particles, fermions or bosons. Calculations in first quantization thus involve the cumbersome (anti-)symmetrization of wavefunctions.

Second quantization is an efficient technical tool that describes many-body systems in a compact and intuitive way. 

No es la primera vez que leo sobre funciones de ondas simétricas y anti-simétricas, en el esquema de primera cuantización. Es un tema que tengo que estudiar, pero está relacionado con las diferencias entre bosones y fermiones. Desconozco todavía por qué son "cumbersome", pero al parecer, la segunda cuantización evita los problema de su utilización.

Comienzan a aparecer espacios de Hilbert de varias dimensiones. Por ejemplo, una partícula de spin 1/2 en el medio de un campo magnético, tiene dos "eigenstates" de operador de spin, y estos generan un espacio de Hilbert de dimensión dos.

En la segunda cuantización, se utiliza una forma distinta de nombrar los estados de base. Además se agregan operadores de creación y aniquilación de partículas.

Si bien me resulta algo intuitivo ese paso, tengo que revisar mejor el mismo desarrollo usando solamente la primera cuantización.

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Publicado el 25 de Octubre, 2016, 7:30

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La segunda cuantización es un tema que sigue apareciendo en mis lecturas, pero no todavía en los posts de esto blog. En estos meses, ha vuelto a aparecer en libros que estoy estudiando, en el tema computación cuántica.

Venga hoy una nota sobre algunas fuentes que estoy consultando. Primero

First and Second Quantization
http://www.iue.tuwien.ac.at/phd/pourfath/node109.html

Es interesante ver en este artículo por qué lo de "segunda". Siguiendo el tratamiento de Schrodinger, uno puede representar el estado de una partícula con una función de onda cuya evolución en el tiempo cumple con la ecuación de Schrodinger. El problema se presenta cuando uno quiere representar de la misma forma más de una partícula como sistema, teniendo estas partículas interacciones entre sí (si no tuvieran interacciones, la solución a la ecuación de Schrodinger de TODO el sistema, por linealidad, sería igual a la suma de las soluciones indivuales, partícula por partícula).

Copio de ese artículo el párrafo:

Historically, quantum physics first dealt only with the quantization of the motion of particles, leaving the electromagnetic field classical (SCHRÖDINGER, HEISENBERG, and DIRAC, 1925-26). Later also the electromagnetic field was quantized (DIRAC, 1927), and even the particles themselves got represented by quantized fields (JORDAN and WIGNER, 1927), resulting in the development of quantum electrodynamics and quantum field theory in general.

Conozco superficialmente el trabajo de Schrodinger, Heisenberg, y Dirac, mencionado. Y el "paper" de Dirac de 1927. Me faltaría conocer el trabajdo de Jordan y Wigner, no sabía que ellos habían sido los primeros en representar a las "partículas" como campos cuantizados. Ahí hay un tema interesante y profundo, que aún se discute: la entidad ontológica de "partícula", como algo emergente de los campos o como algo básico de la estructura del universo.

Y ahora viene la explicación de "segunda":

By convention, the original form of quantum mechanics is denoted first quantization, while quantum field theory is formulated in the language of second quantization. Second quantization greatly simplifies the discussion of many interacting particles. This approach merely reformulates the original SCHRÖDINGER equation. Nevertheless, it has the advantage that in second quantization operators incorporate the statistics, which contrasts with the more cumbersome approach of using symmetrized or anti-symmetrized products of single-particle wave functions.

Lo de "statistics" se refiere a que en el tratamiento de la segunda cuantización se distingue claramente entre bosones y fermiones, que tienen distinta "estadística", pues los fermiones, al cumplir con el principio de exclusión de Pauli, no pueden estar dos en el mismo estado, mientras que los bosones (como los fotones) sí pueden "agruparse" en el mismo estado.

Se dice que la segunda cuantización es la forma de tratar los campos cuánticos. PERO NO ES LA UNICA, eso no está siempre claro en los artículos que estoy leyendo. Por ejemplo, Zee en su libro de introducción a esos campos, no parece utilizar este formalismo, representación, sino que sigue el camino de las múltiples trayectorias de Feynman (al parecer, camino que también nació con el artículo de Dirac de 1927).

Nos leemos!

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Publicado el 24 de Octubre, 2016, 14:04

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Veamos hoy qué unificación apareció en los sesenta del siglo pasado:

We are now in a position to return to the subject of unification. In the late 1960s the Weinberg–Salam model of electroweak interactions put together electromagnetism and the weak force into a unified framework. This unified model was neither dictated nor justified only by considerations of simplicity or elegance. It was necessary for a predictive and consistent theory of the weak interactions. The theory is initially formulated with four massless particles that carry the forces. A process of symmetry breaking gives mass to three of these particles: the W+, the W−, and the Z0. These particles are the carriers of the weak force. The particle that remains massless is the photon, which is the carrier of the electromagnetic force.

Aunque no lo menciona, el bosón de Higgs (en realidad sus cuatro variedades) tiene su relación con estas partículas W+, W-, Z0. De hecho, tres variedades de Higgs se acoplan a estas partículas, y otra queda "suelta", la que conocemos como "el" bosón de Higgs.

El modelo de estas fuerzas es la de los campos cuánticos. Cada fuerza despliega un campo de este tipo (diferente de un campo clásico), y cada campo convive con los demás, pero con interacciones entre ellos.

Maxwell’s equations, as we discussed before, are equations of classical electromagnetism. They do not provide a quantum theory. Physicists have discovered quantization methods, which can be used to turn a classical theory into a quantum theory – a theory that can be calculated using the principles of quantum mechanics. While classical electrodynamics can be used confidently to calculate the transmission of energy in power lines and the radiation patterns of radio antennas, it is neither an accurate nor a correct theory for microscopic phenomena. Quantum electrodynamics (QED), the quantum version of classical electrodynamics, is required for correct computations in this arena. In QED, the photon appears as the quantum of the electromagnetic field. The theory of weak interactions is also a quantum theory of particles, so the correct, unified theory is the quantum electroweak theory.

El procedimiento de cuantizar campos ha sido exitoso en todas las fuerzas:

The quantization procedure is also successful in the case of the strong color force, and the resulting theory has been called quantum chromodynamics (QCD). The carriers of the color force are eight massless particles. These are colored gluons, and just like the quarks, they cannot be observed in isolation. The quarks respond to the gluons because they carry color. Quarks can come in three colors.

Nos leemos!

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Publicado el 23 de Octubre, 2016, 15:00

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Otro de los desarrollos que culminaron en el siglo XX, es la existencia de CUATRO fuerzas fundamentales. Su descubrimiento es una larga historia, si bien ya en tiempos de Maxwell, en el siglo XIX, se hizo claro la existencia de las dos fuerzas más conocidas, la gravedad y el electromagnetismo. Leo:

In addition to these developments, four fundamental forces had been recognized to exist in nature. Let us have a brief look at them.

One of them is the force of gravity. This force has been known since antiquity, but it was first described accurately by Isaac Newton. Gravity underwent a profound reformulation in Albert Einstein"s theory of general relativity. In this theory, the spacetime arena of special relativity acquires a life of its own, and gravitational forces arise from the curvature of this dynamical spacetime. Einstein"s general relativity is a classical theory of gravitation. It is not formulated as a quantum theory.

The second fundamental force is the electromagnetic force. As we discussed above, the electromagnetic force is well described by Maxwell"s equations. Electromagnetism, or Maxwell theory, is formulated as a classical theory of electromagnetic fields. As opposed to Newtonian mechanics, which was modified by special relativity, Maxwell theory is fully consistent with special relativity.

The third fundamental force is the weak force. This force is responsible for the process of nuclear beta decay, in which a neutron decays into a proton, an electron, and an antineutrino. In general, processes that involve neutrinos are mediated by weak forces. While nuclear beta decay had been known since the end of the nineteenth century, the recognition that a new force was at play did not take hold until the middle of the twentieth century. The strength of this force is measured by the Fermi constant. Weak interactions are much weaker than electromagnetic interactions.

Finally, the fourth force is the strong force, nowadays called the color force. This force is at play in holding together the constituents of the neutron, the proton, the pions, and many other subnuclear particles. These constituents, called quarks, are held so tightly by the color force that they cannot be seen in isolation.

En el próximo post volveremos a la primera unificación de estas fuerzas en el siglo XX

Nos leemos!

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Publicado el 22 de Octubre, 2016, 15:44

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La unificación de Maxwell fue la primera de varias. Leo:

Another fundamental unification of two types of phenomena occurred in the late 1960s, about one-hundred years after the work of Maxwell. This unification revealed the deep relationship between electromagnetic forces and the forces responsible for weak interactions. To appreciate the significance of this unification it is necessary first to review the main developments that occurred in physics since the time of Maxwell.

Esa unificación de los sesenta fue la que impulsó de nuevo el camino de la unificación, que había quedado algo congelado, al no haber avances concretos. Pero para llegar a esa unificación hubo que pasar por varios desarrollos:

An important change of paradigm was triggered by Albert Einstein"s special theory of relativity. In this theory one finds a striking conceptual unification of the separate notions of space and time. Different from a unification of forces, the merging of space and time into a spacetime continuum represented a new recognition of the nature of the arena where physical phenomena take place. Newtonian mechanics was replaced by relativistic mechanics, and older ideas of absolute time were abandoned. Mass and energy were shown to be interchangeable.

El otro gran avance de la física en los comienzos del siglo XX fue la física cuántica:

Another change of paradigm, perhaps an even more dramatic one, was brought forth by the discovery of quantum mechanics. Developed by Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac and others, quantum theory was verified to be the correct framework to describe microscopic phenomena. In quantum mechanics classical observables become operators. If two operators fail to commute, the corresponding observables cannot be measured simultaneously. Quantum mechanics is a framework, more than a theory. It gives the rules by which theories must be used to extract physical predictions.

De la unión de ambos desarrollos nacieron las teorías de campos cuánticos. Seguiremos en el próximo post.

Nos leemos!

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Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 21 de Octubre, 2016, 6:49

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Algunos viejos enlaces que he visitado en este siglo. Se ve la influencia de mi trabajo, el desarrollo de software. El más interesante debe ser el de la historia en imágenes del juego de go.

Microsoft Loses A Top China Executive
http://www.businessinsider.com/microsoft-loses-a-top-china-executive-2010-3

Google China hackers stole source code - researcher - Yahoo! News UK
http://uk.news.yahoo.com/22/20100303/ttc-uk-china-google-fe50bdd.html

Baidu Gets $50 Million to Bring New Video Site to China
http://mashable.com/2010/02/26/baidu-50-million-video/

BabelStone: A Pictorial History of the Game of Go
http://babelstone.blogspot.com/2009/04/pictorial-history-of-game-of-go.html

Atoms Are Not Bits; Wired Is Not A Business Magazine - Wired - Gizmodo
http://gizmodo.com/5457461/atoms-are-not-bits-wired-is-not-a-business-magazine

Google Begins Secret Negotiations With Chinese Government
http://www.businessinsider.com/henry-blodget-google-begins-secret-negotiations-with-chinese-government-2010-1

Microsoft Statement Regarding MSN China Joint Venture"s Juku Feature
http://www.microsoft.com/presspass/press/2009/dec09/12-15statement.mspx

Will China"s Best Coders Flock to Kai-Fu Lee"s New Incubator?
https://techcrunch.com/2009/09/06/will-china%E2%80%99s-best-coders-flock-to-kai-fu-lee%E2%80%99s-new-incubator/

Voices of the Olympic Games
http://summergames.lenovo.com/?language=en

China Wholesale: Buy Wholesale Products from China
http://www.dhgate.com/index.shtml

Nos leemos!

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Publicado el 20 de Octubre, 2016, 7:23

Inaugurando la nueva categoría de este block, China, vaya hoy una lista liviana de enlaces que he usado en estos últimos meses. Ya vendrá un post más elaborado.

Chinese Lessons
http://www.learnchineseez.com/lessons/mandarin/pinyin/

News in Chinese - annotated - Chinese-Tools.com
http://www.chinese-tools.com/news

Chinese English Dictionary with Pinyin and Strokes - Yabla Chinese
https://chinese.yabla.com/chinese-english-pinyin-dictionary.php

Learn Chinese (Mandarin)
http://www.rosettastone.com/learn-chinese

BBC - Languages - Chinese - Chinese games - Character game
http://www.bbc.co.uk/languages/chinese/games/characters.shtml

BBC - Learn Chinese with free online lessons
http://www.bbc.co.uk/languages/chinese/

Chinese Lessons
http://www.learnchineseez.com/lessons/mandarin/

Learn Chinese - Free online mandarin audio courses
http://www.chinese-tools.com/learn/chinese

LingQ - The future of language learning
http://www.lingq.com/

Learning Chinese Online Page
http://www.csulb.edu/~txie/online.htm

Mis Enlaces
https://del.icio.us/ajlopez/chinese

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Publicado el 17 de Octubre, 2016, 8:02

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Veamos de seguir explorando la ecuación:

Donde este alfa es solución de:

Llamemos u a:

Llamemos v a:

Quedando entonces:

¿A qué queremos llegar? Bueno, queremos obtener u y v, como valores que se derivan de los coeficientes de la ecuación cúbica original. Y luego, al tomar las raíces cuadradas (que NO TIENEN un valor único, sino que tiene TRES valores posibles cada una), obtener no sólo x1, sino también los valores de las otras raíces, x2 y x3.

Recordemos que la ecuación cúbica original es:

Quedando, de manera similar a la ecuación cuadrática, los coeficientes expresados por funciones simétricas de las raíces (permutamos las raíces y el resultado es el mismo):



Es esperable esta "forma" de los coeficientes: la ecuación es la misma, tiene los mismos coeficientes, por más que cambiemos el orden de las raíces. Ese es una pista que vamos a seguir y aprovechar.
Ahora bien, tanto u, como v, no valores simétricos de las raíces. PERO, sí lo es:

Veamos: intercambiando x2 y x3, queda la misma expresión, porque haciendo esa permutación se intercambian los valores de u y de v (es decir, u pasa a ser v, y v pasa a ser u).

Apliquemos la permutación cíclica x1 -> x2 -> x3 -> x1. Entonces, aplicando esa permutación, u se transforma en:

Recordemos que alfa al cubo es igual a 1, queda:


Es decir, aplicando la permutación cíclica, u se transforma en u. Lo mismo pasa con v: luego de esta permutación permanece invariante: Al final, u+v permanece igual aplicando estas dos permutaciones, y todas las permutaciones de las tres raíces se obtienen combinando estas dos.

Conclusión: u+v es simétrica en las raíces.

En el próximo post demostraremos que la multiplicación uv es simétrica en las raíces.

Nos leemos!

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Publicado el 16 de Octubre, 2016, 12:54

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Ahora bien, Heisenberg y Schrodinger siguieron distintos métodos para el mismo tema:

Heisenberg and Schrodinger gave us two forms of quantum mechanics, which were soon found to be equivalent. They provided two pictures, with a certain mathematical transformation connecting them.

Pero Dirac también tenía algo para aportar:

I joined in the early work on quantum mechanics, following the procedure based on mathematics, with a very abstract point of view. I took the noncommutative algebra which was suggested by Heisenberg's matrices as the main feature for a new dynamics, and examined how classical dynamics could be adapted to fit in with it. Other people were working on the subject from various points of view, and we all obtained equivalent results, at about the same time.

Como menciona, lo importante para él fue la no conmutatividad que exhibía el modelo matemático.

I would like to mention that I found the best ideas usually came, not when one was actively striving for them, but when one was in a more relaxed state. Professor Bethe has told us how he got ideas on railway trains and often worked them out before the end of the journey. It was not like that with me. I used to take long solitary walks on Sundays, during which I tended to review the current situation in a leisurely way. Such occasions often proved fruitful, even though (or perhaps because) the primary purpose of the walk was relaxation and not research.

It was on one of these occasions that the possibility occurred to me of a connection between
commutators and Poisson brackets. I did not then know very well what a Poisson bracket was, so was very uncertain of the connection. On getting home I  found I did not have any book explaining Poisson brackets, so I had to wait impatiently for the libraries to open the following morning before I could verify the idea.

Ver Dirac revisando el trabajo de Heisenberg.

Nos leemos!

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Publicado el 10 de Octubre, 2016, 16:00

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Luego de presentar los trabajos de Heisenberg y Schrodinger, como ejemplos de dos métodos distintos aplicados al mismo problema físico, Dirac nos recuerda la gran influencia de la relatividad en aquellos tiempos (la tercera década del siglo XX):

In order to understand the atmosphere in which theoretical physicists were then working, one must appreciate the enormous influence of relativity. Relativity had burst into the world of scientific thought with a tremendous impact, at the end of a long and difficult war. Everyone wanted to get away from the strain of war and eagerly seized on the new mode of thought and new philosophy. The excitement was quite unprecedented in the history of science.

Against this background of excitement, physicists were trying to understand the mystery of the stability of atoms. Schrodinger, like everyone else, was caught up by the new ideas, and so he tried to set up a quantum mechanics within the framework of relativity. Everything had to be expressed in terms of vectors and tensors in space-time. This was unfortunate, as the time was not ripe for a relativistic quantum mechanics, and Schrodinger's discovery was delayed in consequence.

Ciertamente, Schrodinger podría haber llegado antes a sus resultados si relajaba la cuestión relativista.

Schrodinger was working from a beautiful idea of de Broglie connecting waves and particles in a relativistic way. De Broglie's idea applied only to free particles, and Schrodinger tried to generalize it to an electron bound in an atom. Eventually he succeeded, keeping within the relativistic framework. But when he applied his theory to the hydrogen atom, he found it did not agree with experiment. The discrepancy was due to his not having taken the spin of the electron into account. It was not then known. Schrodinger subsequently noticed that his theory was correct in the nonrelativistic approximation, and he had to reconcile himself to publishing this degraded version of his work, which he did after some month's delay.

The moral of this story is that one should not try to accomplish too much in one go. One should separate the difficulties in physics one from another as far as possible, and then dispose of them one by one.

Sería principalmente Dirac el que agregaría de forma adecuada el marco relativista a la nueva mecánica cuántica. Desde sus años de estudiante, Dirac siempre trataba de generalizar teorías para que fueran compatibles con la relatividad especial de Einstein, y de paso, dando cuenta del spin del electrón (la historia del spin vale varios post aparte).

Nos leemos!

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Publicado el 8 de Octubre, 2016, 10:05

Hace unos días compartía un párrafo corto de Edwards, de su excelente libro Galois Theory, sobre la vida de Galois. Edwards no quiere dedicar más que ese espacio a la vida de Galois, pues su propósito es mostrar sus ideas y su teoría. Luego de ese texto, se explaya sobre por qué Galois llegó a donde llegó con sus ideas tan temprano. Traduzco libremente:

El propósito de este libro es transmitir el drama matemático del trabajo de Galois, así que no habrá más menciones de su corta e infeliz vida, pero un punto debe ser mencionado acerca de su característica más dramático, es decir, el hecho que Galois pudiera hacer, a tan joven edad y sin los beneficios de una educación formal, descubrimientos que le hicieran ganar su perdurable fama. Seguramente, muchos jóvenes aspirantes a matemáticos se han visto desanimados por la historia de Galois, diciéndose a sí mismos algo como: "acá estoy con x años de edad, x - 20 años más viejo que Galois cuando murió, y, aunque me gustan las matemáticas y siempre he sido bueno en el tema, no me veo tan capaz de hacer un gran descubrimiento matemático como de atravesar el Atlántico a nado". ¿Cómo pudo hacerlo Galois? ¿Estaba dotado de un don sobrenatural que lo pone en una clase aparte? Yo pienso que no. Por supuesto, el talento es esencial, y pocos son tan talentosos como Galois. Pero aún así, el talento no es suficiente. Galois tuvo que alcanzar el punto donde él conociera lo bastante y tuviera suficientes técnicas a su mando para poder moverse más allá de lo que se había alcanzado antes. El secreto de cómo él pudo hacerlo está contenido, creo, en un pasaje de su biografía escrita por Dupuy (pg. 206): "Los libros de álgebra elemental nunca satisfacieron a Galois porque él no encontraba en ellos la marca de los creadores; ya desde su primer año de matemáticas se inclinó por Lagrange".

El libro de Lagrange "Réflexions sur la Résolution Algébrique des Equations" (1771) es el tratado de Lagrange más probable de haber inspirado la creación de la teoría de Galois. Es un trabajo extraordinario, escrito de un modo relajado, discursivo que era común en el siglo dieciocho, pero que es virtualmente desconocido en los escritos matemáticos actuales. Discute extensamente la pregunta central de su tiempo en la teoría de las ecuaciones algebraicas: ¿cuál es la esencia de los métodos por los que podemos resolver las ecuaciones de grados 2, 3 y 4? ¿es posible extender estos métodos a ecuaciones de grados superiores, y si no se puede, por qué? Lagrange dio una perpicaz respuesta a la primera pregunta, describiendo las soluciones de ecuaciones de grado bajo en términos de una técnica unificada ahora conocida como la técnica de los resolventes de Lagrange. Por otra parte, su respuesta a la segunda pregunta es poco concluyente. Muestra que la técnica de la resolvente no se puede aplicar de una manera evidente en el caso de grado 5 o mayores, y discute algunas técnicas - notablemente la técnica de permutar las raíces de una ecuación algebraica - que son relevantes a las aplicaciones de la resolvente de Lagrange a ecuaciones de grado más alto, pero no termina de dar una respuesta final a la cuestión. En resumen, es un "paper" que da al lector toda la información sobre el problema que posee el autor e indica la dirección que el autor siente que debe seguirse en trabajos posteriores. Visto de esta manera, esta obra de Lagrange parece la perfecta fuente de inspiración para Galois.

Es importante estudiar el trabajo de Lagrange para entender el origen de las ideas de Galois. Algo de ese estudio comienza a aparecer en mi serie sobre la teoría de Galois.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 5 de Octubre, 2016, 13:22

Tiempo de escribir mis resoluciones personales públicas de octubre, repasando las de septiembre:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat [pendiente]
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre teoría de Galois [pendiente]
- Comenzar una serie sobre los azulejos de Wang [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Además, publiqué:

La vida de Galois, por Edwards
Métodos en Física Teórica, por Dirac (1) (2) (3) (4)
Niels Bohr, por Heisenberg
Inconsistencias en Teorías Físicas, según Dirac, por Abdus Salam
El camino a la unificación en física (1)

Quisiera seguir con estos temas para este nuevo mes:

- Continuar mi serie sobre el último teorema de Fermat
- Continuar mi serie sobre matemáticas y física cuántica
- Continuar mi serie sobre la teoría de la transformación de Dirac
- Continuar mi serie sobre teoría de Galois
- Comenzar una serie sobre los azulejos de Wang
- Estudiar blues en guitarra

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 4 de Octubre, 2016, 10:47

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GV partner Karim Faris on investing outside Silicon Valley - Business Insider
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7 Habits of the Most Productive Entrepreneurs | Inc.com
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Anyone Can Back a Startup Now. But Good Luck Finding the Next Uber - Bloomberg
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Five European Fintech Startups To Watch - Forbes
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6 Angel Insights for Early Stage Startups | Silvia Mah PhD, MBA | LinkedIn
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Barclays, U.K. Regulators Endorse Bitcoin in Deal With Startup - Bloomberg
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Publicado el 3 de Octubre, 2016, 14:03

Para escribir y desarrollar mi serie de posts sobre la teoría de Galois, una de mis fuentes principales es el excelente libro Galois Theory, de Harold M. Edwards. El autor siempre recomienda, a los jóvenes matemáticos, "leer las fuentes", los escritos de los matemáticos que construyeron el gran edificio de este conocimiento humano. Hoy quiero compartir mi traducción libre de una descripción corta que hace Edwards sobre la vida de Galois:

Los grandes matemáticos usualmente tienen vidas no dramáticas, o, más precisamente, el drama de sus vidas reside en sus matemáticas y no pueden ser apreciado por los no matemáticos. La gran excepción a esta regla es Evaristo Galois (1811-1832). La historia de la vida de Galois - lo que conocemos de ella - es como una novela romántica. Aunque él había hecho importantes descubrimientos matemáticos estando en la escuela secundaria, le fue negada la admisión en la Escuela Politécnica, que era la mejor institución de enseñanza de altas matemáticas de su tiempo, y el "establishment" matemático ignoró, perdió, y falló en entender sus tratados. Mientras tanto, él fue perseguido por sus ideas políticas y pasó varios meses en prisión, como prisionero político. A la edad de 20, fue asesinado en un duelo que involucraba, de una forma misteriosa, honor y una mujer. En la víspera del duelo fatal escribió una carta a un amigo describiendo sus descubrimientos matemáticos y pidiéndole que trate de llamar la atención del mundo matemático sobre esos trabajos. Contra todas las chances, los pocos que ayudaron a Galois, catorce años luego de su muerte, tuvieron éxito en encontrar una audiencia para sus logros, y porciones de sus escritos fueron publicados en 1846 por Joseph Liouville en su Journal de Mathematiques. Luego de eso, el reconocimiento de la gran importancia de su trabajo llegó rápidamente, y Galois comenzó a ser recordado, como hoy, como uno de los grandes matemáticos creativos de todos los tiempos.

Espero en post cercano, escribir también sobre lo que opina Edwards de por qué el triunfo de Galois en un tema como la resolución general de ecuaciones algebraicas.

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Publicado el 2 de Octubre, 2016, 13:06

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Publicado el 1 de Octubre, 2016, 12:05

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