Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 17 de Octubre, 2016, 8:02

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Veamos de seguir explorando la ecuación:

Donde este alfa es solución de:

Llamemos u a:

Llamemos v a:

Quedando entonces:

¿A qué queremos llegar? Bueno, queremos obtener u y v, como valores que se derivan de los coeficientes de la ecuación cúbica original. Y luego, al tomar las raíces cuadradas (que NO TIENEN un valor único, sino que tiene TRES valores posibles cada una), obtener no sólo x1, sino también los valores de las otras raíces, x2 y x3.

Recordemos que la ecuación cúbica original es:

Quedando, de manera similar a la ecuación cuadrática, los coeficientes expresados por funciones simétricas de las raíces (permutamos las raíces y el resultado es el mismo):



Es esperable esta "forma" de los coeficientes: la ecuación es la misma, tiene los mismos coeficientes, por más que cambiemos el orden de las raíces. Ese es una pista que vamos a seguir y aprovechar.
Ahora bien, tanto u, como v, no valores simétricos de las raíces. PERO, sí lo es:

Veamos: intercambiando x2 y x3, queda la misma expresión, porque haciendo esa permutación se intercambian los valores de u y de v (es decir, u pasa a ser v, y v pasa a ser u).

Apliquemos la permutación cíclica x1 -> x2 -> x3 -> x1. Entonces, aplicando esa permutación, u se transforma en:

Recordemos que alfa al cubo es igual a 1, queda:


Es decir, aplicando la permutación cíclica, u se transforma en u. Lo mismo pasa con v: luego de esta permutación permanece invariante: Al final, u+v permanece igual aplicando estas dos permutaciones, y todas las permutaciones de las tres raíces se obtienen combinando estas dos.

Conclusión: u+v es simétrica en las raíces.

En el próximo post demostraremos que la multiplicación uv es simétrica en las raíces.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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