Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 12 de Febrero, 2017, 14:20

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En el año pasado, por un proyecto laboral, me reencuentro con curvas elípticas. Es un tema al que había llegado, como muchos "amateurs", en los noventa del siglo pasado, cuando se difundió la demostración de Wiles y otros del teorema de Fermat. Hasta ahora, sólo había leído algunos artículos de divulgación, y capítulos de libros, como el de Ian Steward sobre problemas matemáticos.

Pero parece que es hora de estudiar un poco más. Lo interesante del tema, es que siendo su objeto de estudio algo muy particular (digamos, una ecuación con coeficientes genéricos, de una estructura fija), los frutos que ha dado a las matemáticas han sido espectaculares. Desde la teoría de números, la teoría de grupos, geometría algebraica, y más, han sido tocados en su desarrollo. Tiene una especie de encanto mágico que hace que su estudio sea tan formidable en conexiones, en conjeturas no esperadas, relaciones notables.

De alguna forma, es uno de esos temas que podría poner como soporte del platonismo matemático: hay un mundo matemático, preexistente a la realidad y a la mente humana. Es tan notable lo que se ha obtenido de la mina interminable de las curvas elípticas, que uno no puede aceptar que todo sea fruto de la mente humana o sea un reflejo de algo de la realidad.

Espero en esta serie de posts, describir algunas lecturas que se podrían encarar para estudiar más seriamente el tema. No es que vaya a leer todo lo que comento, pero es bueno pasar en limpio, por escrito, algo de los disponible sobre el tema.

Por ahora, vaya como muestra, la página de la Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve

Si bien al principio parece algo intimidante, espero que en las lecturas que vaya comentando queden indicado los desarrollos a estudiar para realmente comenzar a entender en profundidad el tema. Por que no es sólo aprender teoremas y conceptos, sino también entender cómo se ha llegado a esos resultados, y el por qué de ellos: ¿Qué relaciones profundas ponen de manifiesto?

Es interesante entender las relaciones con:

- Elipses, integrales elípticas (un tema histórico, no afecta al estudio actual)}
- Conjetura (ahora teorema) de Mordell
- Conjetura de Taniyama-Shimura (creo que teorema para la mayoría de los casos ¿o todos?)
- De triples pitagóricos a cónicas a cúbicas a elípticas
- Grupos finitos
- Elípticas sobre reales y complejos, y grupos de Lie
- Números congruentes
- y más...

Para ver la aplicación práctica actual más difundida:

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve_cryptography

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez