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Marzo del 2017
Publicado el
31 de Marzo, 2017, 10:29
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Publicado el
30 de Marzo, 2017, 10:53
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Publicado el
29 de Marzo, 2017, 11:42
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28 de Marzo, 2017, 9:43
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27 de Marzo, 2017, 12:20
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26 de Marzo, 2017, 15:02
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Publicado el
25 de Marzo, 2017, 11:44
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Es conocido que los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación:
son los de una circunferencia de radio 1:
La ecuación es un polinomio igualado a cero. Y buscamos en las soluciones de arriba, los pares (x, y) que evalúan ese polinomio a cero, pero considerando valores reales. También podríamos tomar valores racionales o valores complejos. En el primer caso caeríamos en el estudio de los triples pitagóricos (ver ... ). En el segundo caso, el gráfico a obtener sería más complejo.
Pero volvamos a los polinomios sobre los reales. También podríamos considerar:
representando una circunferencia ya no centrada en (0, 0), sino en (1, 0) y de radio 2.
Siendo genéricos, podríamos poner:
con coeficientes positivos, obteniendo diversas elipses. También podríamos hacer cambios de coordenadas, y si esos cambios son lineales, obtenemos otro polinomio con el mismo grado. Pero la curva de los puntos nulos se vería rotada. Podemos aplicar además de rotaciones, reflexiones o traslaciones. La cuestión es que estudiando polinomios cuadráticos en dos variables, y buscando los puntos donde se anulan en números reales, obtenemos conocidas curvas. Como esas curvas surgen de un polinomio, se denominan curvas algebraicas.
También podríamos tomar polinomios de otros grados, y ya vamos a llegar al caso, así como tener más variables. La cuestión es que el estudio de estos conjuntos de puntos, los ceros de polinomios, es sumamente interesante y lleva a resultados fructíferos en matemáticas. Es notable cómo un tema que al parecer es sencillo, provoca un árbol de resultados sorprendente. Este es el tema que quiero explorar en esta serie de posts.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
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Publicado el
24 de Marzo, 2017, 12:42
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Las matemáticas son más que números: en los últimos siglos han ido apareciendo estructuras y nuevas ramas, además de la transformación de la geometría en nuevos espacios para explorar, como la topología. Pero los números siempre han fascinado a los seres humanos por milenios. Ya los griegos estudiaron propiedades de los números naturales. Los pitagóricos sirven como muestra de esa actividad. Hasta un teorema geométrico fundamental como el de Pitágoras ha tenido derivaciones numéricas en la búsqueda de tríadas de lados enteros o racionales. Ya los babilonios había encontrado algunas de esas tríadas, como 3, 4, 5 y 5, 12, 13. Son números naturales que cumplen:
Ya en una tableta de arcilla, datada alrededor de 1500 años antes de Cristo, se incluía la tríada 4961, 6480, 8161 lo que demuestra el alcance que habían logrado los babilonios en el tema.
Los griegos dieron mayor prioridad a la geometría, pero no descuidaron los números. Ya en la era cristiana, alrededor del año 250, Diofanto de Alejandría escribió sobre ecuaciones polinómicas buscando soluciones racionales (eran las magnitudes que los griegos aceptaban). Las ecuaciones de las que se busca soluciones enteras se llaman hoy ecuaciones diofánticas.
El álgebra comenzó a desarrollarse en otros lugares. Los matemáticos hindúes comenzaron a manejar con confianza números negativos y el cero (los griegos nunca tuvieron un concepto de número negativo). Los musulmanes conquistaron Alejandría en el siglo VII, y rápidamente se expandieron por Africa y España. Ellos llevaron gran parte del conocimiento griego e hindú a otras tierras. El término 'álgebra' deriva del título árabe de un libro: 'al jabr w'al muqabalah', que literalmente significa 'restauración y equivalencia', escrito por Al-Khowarizmi en 825 (de su nombre deriva nuestra palabra 'algoritmo'). La coexistencia pacífica de musulmanes y cristianos llevó a la disponibilidad de muchos clásicos griegos y arábigos en traducciones latinas, en el siglo XIII.
Tenemos que esperar al siglo XVI para que Cardano comience a usar soluciones negativas e incluso complejas, en su obra Ars Magna. Igualmente, la adopción de los números complejos tuvo que esperar mucho tiempo: aún en el siglo XIX matemáticos eminentes no los veían con confianza. La aparición del uso de los complejos permitió entender que las ecuaciones polinómicas de una variable tienen siempre n soluciones, siendo n su grado. Es curioso que hubiera que incorporar esos números como vía para realmente iluminar el tema.
Mi principal fuente, es el primer capítulo del excelente "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem" de Ian Steward y David Tall.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
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Publicado el
23 de Marzo, 2017, 11:08
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Publicado el
22 de Marzo, 2017, 16:13
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Publicado el
21 de Marzo, 2017, 14:28
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Publicado el
20 de Marzo, 2017, 12:08
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19 de Marzo, 2017, 14:11
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Publicado el
18 de Marzo, 2017, 12:59
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Publicado el
17 de Marzo, 2017, 17:58
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Publicado el
16 de Marzo, 2017, 8:18
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Publicado el
13 de Marzo, 2017, 11:13
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Publicado el
12 de Marzo, 2017, 10:39
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Hoy encuentro este pasaje, en las Confesiones de Rousseau. Luego de comentar cómo comenzó a estudiar filosofía, expone su experiencia con las matemáticas cuando estudiaba:
Pasé entonces [a estudiar] a la geometría elemental. Pero no avancé mucho, determinado por mi mala memoria a repetir cientos de veces sobre los mismos temas, e incesantemente recomenzando la misma ruta. No pude disfrutar de Euclides, que buscaba el encadenamiento de demostraciones en vez de la conexión. Yo prefería la geometría del padre Lami, quien desde esa época se convirtió en uno de mis autores preferidos, cuyas obras aún hoy leo de nuevo con placer. Le siguió el álgebra, y de nuevo tomé al padre Lami como guía: cuando estuve un poco más adelantado, tomé la ciencia de la Calculation del padre Reynaud, y luego su Analysis Demostrated, que sólo leí por encima. Nunca llegué tan lejos como para comprender la aplicación del álgebra en geometría. No me aficioné a ese método de operación... me parecía que resolver un problema de geometría por una ecuación era como tocar una melodía girando una manivela. La primera vez que vi por cálculo que el cuadrado de una figura binomial estaba compuesta de cada una de sus partes, y del doble producto de una por la otra, aunque mi multiplicación era correcta, no pude creerlo hasta que hubiera hecho la figura. Pero tenía un gran gusto por el álgebra, considerada como una cantidad abstracta; pero aplicada a la dimensión, yo debo ver la operación con las líneas, de otra forma no comprendo nada...
Curioso el problema que mostraba Rousseau para aplicar el álgebra a la geometría. Cuando se aplica el álgebra, hay algo de sensación de "estamos perdiendo algo esencialmente geométrico en este método". Pero hay que rendirse a la historia: esa aplicación se ha visto tremendamente fructífera, ver por ejemplo Estudiando geometría algebraica.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez
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Publicado el
11 de Marzo, 2017, 9:24
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Después de mucho tiempo, me he decidido a escribir sobre algunas lecturas, estudiando geometría algebraica. Como tantos campos de las matemáticas, éste es un tema muy interesante. Hundiendo sus raíces en la historia de las matemáticas desde hace siglos, es notable cómo esta rama de las matemáticas fue evolucionando en el último siglo para ganar en generalidad y profundidad, con hermosos e inesperados resultados.
Primero, como base:
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry
La geometría algebraica comienza estudiando los conjuntos de puntos que son los seros de un sistema de polinomios. Al principio, los polinomios tienen dos variables, x, y, que al darles valor determinan un punto en el plano. El iniciador de esta asociación entre álgebra y geometría fue Descartes. Desde entonces, la geometría ha quedado asociada al álgebra, relación que ha sido ignorada por los antiguos griegos (lo que no impidió en ellos el gran desarrollo de la geometría, incluso de curvas no algebraicas por parte de Arquímedes).
Esa asociación ha traído alguna fricción: mientras que la geometría pura prescindía de un sistema de coordenadas, con la llegada de la relación con el álgebra el tema coordenadas y cambio de sistema fue cobrando importancia. No es algo fundamental en geometría algebraica, pero en ocasiones el cambio de coordenadas simplifica algún problema (como en la forma Weierstrass de las curvas elípticas). Llamo la atención en el cambio de coordenadas, porque hay una tendencia en física a considerar modelos geométricos donde los conceptos son independientes de las coordenadas. Desde las relatividades de Einstein hasta ideas más modernas, como las de Penrose, tratan de descubrir lo importante, lo independiente del sistema de base.
Pero volvamos al tema. En geometría algebraica, al considerar polinomios sobre el campo de los reales, con dos variables, encontramos curvas cónicas como el círculo, la elipse, la parábola, la hipérbola; podemos tener polinomios esn dos variables con grado tres, dando las curvas que se llaman cúbicas (entre ellas encontramos las famosas e importantes curvas elípticas). Y así podemos seguir con más grados.
Lo interesante es que este uso del campo de los reales, se ha extendido a otros campos, como el complejo. Y se han encontrado interesantísimas cuestiones cuando, trabajando sobre el cuerpo de los racionales, que han llevado a relacionar geometría algebraica con teoría de números.
Pero hay que destacar cómo cambió todo en el siglo XX: se extendió a un marco algebraico abstracto. Las variedades algebraicas (los puntos cero de los sistema de polinomios) se comenzaron a estudiar en una forma más general, independiente de cómo esos puntos se representan en sistemas de coordenadas. Los polinomios se trataron como anillos conmutativos generales. Y gran parte de esta revolución fue fruto del trabajo de Grothendieck, y su teoría de "schemes". Es totalmente notable lo que pasó gracias a esas ideas: se crearon nuevos conceptos con los cuales fue posible demostrar conjeturas que hasta entonces se resistían a ser probadas. Se puede decir, sin exagerar, que el trabaj de Grothendieck abrió el camino a la demostración del teorema de Fermat, de una forma inesperada, Pero eso sería caer en un detalle, apenas, de toda la potencia que han traído sus ideas.
Espero poder compartir por acá alguna bibliografía sobre el tema.
Nos leemos!
Angel "Java" Lopez
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Publicado el
10 de Marzo, 2017, 14:03
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