Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 11 de Marzo, 2017, 9:24

Después de mucho tiempo, me he decidido a escribir sobre algunas lecturas, estudiando geometría algebraica. Como tantos campos de las matemáticas, éste es un tema muy interesante. Hundiendo sus raíces en la historia de las matemáticas desde hace siglos, es notable cómo esta rama de las matemáticas fue evolucionando en el último siglo para ganar en generalidad y profundidad, con hermosos e inesperados resultados.

Primero, como base:

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry

La geometría algebraica comienza estudiando los conjuntos de puntos que son los seros de un sistema de polinomios. Al principio, los polinomios tienen dos variables, x, y, que al darles valor determinan un punto en el plano. El iniciador de esta asociación entre álgebra y geometría fue Descartes. Desde entonces, la geometría ha quedado asociada al álgebra, relación que ha sido ignorada por los antiguos griegos (lo que no impidió en ellos el gran desarrollo de la geometría, incluso de curvas no algebraicas por parte de Arquímedes).

Esa asociación ha traído alguna fricción: mientras que la geometría pura prescindía de un sistema de coordenadas, con la llegada de la relación con el álgebra el tema coordenadas y cambio de sistema fue cobrando importancia. No es algo fundamental en geometría algebraica, pero en ocasiones el cambio de coordenadas simplifica algún problema (como en la forma Weierstrass de las curvas elípticas). Llamo la atención en el cambio de coordenadas, porque hay una tendencia en física a considerar modelos geométricos donde los conceptos son independientes de las coordenadas. Desde las relatividades de Einstein hasta ideas más modernas, como las de Penrose, tratan de descubrir lo importante, lo independiente del sistema de base.

Pero volvamos al tema. En geometría algebraica, al considerar polinomios sobre el campo de los reales, con dos variables, encontramos curvas cónicas como el círculo, la elipse, la parábola, la hipérbola; podemos tener polinomios esn dos variables con grado tres, dando las curvas que se llaman cúbicas (entre ellas encontramos las famosas e importantes curvas elípticas). Y así podemos seguir con más grados.

Lo interesante es que este uso del campo de los reales, se ha extendido a otros campos, como el complejo. Y se han encontrado interesantísimas cuestiones cuando, trabajando sobre el cuerpo de los racionales, que han llevado a relacionar geometría algebraica con teoría de números.

Pero hay que destacar cómo cambió todo en el siglo XX: se extendió a un marco algebraico abstracto. Las variedades algebraicas (los puntos cero de los sistema de polinomios) se comenzaron a estudiar en una forma más general, independiente de cómo esos puntos se representan en sistemas de coordenadas. Los polinomios se trataron como anillos conmutativos generales. Y gran parte de esta revolución fue fruto del trabajo de Grothendieck, y su teoría de "schemes". Es totalmente notable lo que pasó gracias a esas ideas: se crearon nuevos conceptos con los cuales fue posible demostrar conjeturas que hasta entonces se resistían a ser probadas. Se puede decir, sin exagerar, que el trabaj de Grothendieck abrió el camino a la demostración del teorema de Fermat, de una forma inesperada, Pero eso sería caer en un detalle, apenas, de toda la potencia que han traído sus ideas.

Espero poder compartir por acá alguna bibliografía sobre el tema.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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