Angel "Java" Lopez en Blog

Abril del 2017


Publicado el 30 de Abril, 2017, 16:29

Hace un tiempo, en el post El Ultimo Teorema de Fermat (4) mostré un resultado de Fermat sobre la imposibilidad de tener un triángulo rectángulo de lados enteros cuya área sea un cuadrado. Ese resultado sirvió también para demostrar el caso n=4 del Ultimo Teorema de Fermat (ver post El Ultimo Teorema de Fermat (5))

Tambien presenté en el post El Ultimo Teorema de Fermat (1) que Fermat había enunciado su famoso Ultimo Teorema, en una copia de un libro de Diofanto, traducido y editado por Bachet de Meziriac. Pero éste último no sólo presenta a Diofanto, sino que también lo anota y acompaña con resultados propios.

Por ejemplo, las condiciones para que un número sea el área de un triángulo rectángulo de lados racionales aparecen en varios problemas de ese libro de Diofanto. Pero este autor griego sólo se contenta con presentar soluciones particulares de esos problemas, sino especificar condiciones necesarias o suficientes para que ese número existe. Pero Bachet agrega algunos resultados.

Notablemente da las condiciones suficientes y necesarias para que el área de un triángulo rectángulo racional sea un cuadrado. Veremos en este post una breve demostración de esta proposición. Pero lo interesante es ver que la preocupación de Fermat por las áreas
de los triángulos rectángulos viene no sólo de Diofanto sino también de Bachet.

Este último puso como condición necesaria y suficiente para que un número A sea área de un triángulo rectángulo racional, es que exista un número racional K tal que:

sea un cuadrado. Primero veamos que si se cumple esta condición, entonces 2A/K y K son lados de un triángulo rectángulo racional de área A, pues

implica, dividiendo por K2, que:

es decir, hay un triángulo racional con lados 2A/K y K. Pero el área de ese triángulo es la mitad de la multiplicación de sus lados, quedando:

Queda demostrado que partiendo de la condición de Bachet, A es el área de un triángulo rectángulo racional.

Veamos de demostrar que la condición de Bachet es necesaria cuando A es área. Sean K y H los lados de un triángulo rectángulo racional tal que su área es A:

Multipliquemos K y H, por K. Quedan K2 y HK. Estos, por proporción, son TAMBIEN lados de un triángulo racional. Entonces, la suma de sus cuadrados es un cuadrado:

Pero HK = 2A, queda entonces la condición de Bachet:

Fuentes consultadas: el monumental Dickson L.E.-History of the theory of numbers_ diophantine analysis. Volume 2 (1971) comienzo del capítulo XXII

Mencionado en el excelente Fermat's Last Theorem, a Genetic Intro de Edwards.

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Publicado el 29 de Abril, 2017, 9:20

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Fermat's Last Theorem: Euler's Mistake
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[math/0505373] On the remarkable properties of the pentagonal numbers
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E41 -- De summis serierum reciprocarum
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Evaluating ζ(2)
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Setenta años después, reivindican a un héroe olvidado de la ciencia
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Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel - Gaussianos
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Publicado el 11 de Abril, 2017, 13:37

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Publicado el 9 de Abril, 2017, 12:44

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What is a gauge?
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quantum field theory - Why is mass the quadratic term in a Lagrangian?
http://physics.stackexchange.com/questions/9000/why-is-mass-the-quadratic-term-in-a-lagrangian

invariant function: Definition from Answers.com
http://www.answers.com/topic/invariant-function

Wolfram Demonstrations Project: A Function Invariant under a Group of Transformations
http://demonstrations.wolfram.com/AFunctionInvariantUnderAGroupOfTransformations/

[hep-ph/9705211] Introduction to Gauge Theories
http://arxiv.org/abs/hep-ph/9705211

Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interactions
http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/skripte/muenster/Gauge-theories.pdf

INTRODUCTION TO GAUGE THEORIES AND THE STANDARD MODEL
http://cds.cern.ch/record/292286/files/B00008237.pdf


Particle Physics 5: Basic Introduction to Gauge Theory, Symmetry & Higgs
http://www.youtube.com/watch?v=v6bgABUyT3c

Using Fourier Transforms with the Web Audio API
http://www.sitepoint.com/using-fourier-transforms-web-audio-api/

Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interactions
http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/lehre/skripte/muenster/Gauge-theories.pdf

Analytical Theory of Heat by Joseph Fourier
http://www3.nd.edu/~powers/ame.20231/fourier1878.pdf

NaturalNode/node-sylvester
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Publicado el 4 de Abril, 2017, 10:14

Como pasa el tiempo, ya pasó el verano y estamos en otoño, por estos lares australes. Tiempo de escribir mis resoluciones para el nuevo mes, pero primero, repaso de las de marzo:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Gödel [completo] ver post
- Continuar mi serie sobre Hipótesis de Riemann [pendiente]
- Continuar mi serie Estudiando Curvas Elípticas [pendiente]
- Continuar mi serie Estudiando Física Cuántica de Campos [pendiente]

Además publiqué:

Geometría Algebraica (1)
Rousseau estudiando matemáticas
Estudiando Geometría Algebraica (1)

Las resoluciones para el nuevo mes son:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Continuar mi serie sobre Gödel
- Continuar mi serie Estudiando Curvas Elípticas
- Continuar mi serie Estudiando Geometría Algebraica

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