Hace un tiempo, en el post El Ultimo Teorema de Fermat (4) mostré un resultado de Fermat sobre la imposibilidad de tener un triángulo rectángulo de lados enteros cuya área sea un cuadrado. Ese resultado sirvió también para demostrar el caso n=4 del Ultimo Teorema de Fermat (ver post El Ultimo Teorema de Fermat (5))

Tambien presenté en el post El Ultimo Teorema de Fermat (1) que Fermat había enunciado su famoso Ultimo Teorema, en una copia de un libro de Diofanto, traducido y editado por Bachet de Meziriac. Pero éste último no sólo presenta a Diofanto, sino que también lo anota y acompaña con resultados propios.

Por ejemplo, las condiciones para que un número sea el área de un triángulo rectángulo de lados racionales aparecen en varios problemas de ese libro de Diofanto. Pero este autor griego sólo se contenta con presentar soluciones particulares de esos problemas, sino especificar condiciones necesarias o suficientes para que ese número existe. Pero Bachet agrega algunos resultados.

Notablemente da las condiciones suficientes y necesarias para que el área de un triángulo rectángulo racional sea un cuadrado. Veremos en este post una breve demostración de esta proposición. Pero lo interesante es ver que la preocupación de Fermat por las áreas
de los triángulos rectángulos viene no sólo de Diofanto sino también de Bachet.

Este último puso como condición necesaria y suficiente para que un número A sea área de un triángulo rectángulo racional, es que exista un número racional K tal que:

sea un cuadrado. Primero veamos que si se cumple esta condición, entonces 2A/K y K son lados de un triángulo rectángulo racional de área A, pues

implica, dividiendo por K², que:

es decir, hay un triángulo racional con lados 2A/K y K. Pero el área de ese triángulo es la mitad de la multiplicación de sus lados, quedando:

Queda demostrado que partiendo de la condición de Bachet, A es el área de un triángulo rectángulo racional.

Veamos de demostrar que la condición de Bachet es necesaria cuando A es área. Sean K y H los lados de un triángulo rectángulo racional tal que su área es A:

Multipliquemos K y H, por K. Quedan K² y HK. Estos, por proporción, son TAMBIEN lados de un triángulo racional. Entonces, la suma de sus cuadrados es un cuadrado:

Pero HK = 2A, queda entonces la condición de Bachet:

Fuentes consultadas: el monumental Dickson L.E.-History of the theory of numbers_ diophantine analysis. Volume 2 (1971) comienzo del capítulo XXII

Mencionado en el excelente Fermat's Last Theorem, a Genetic Intro de Edwards.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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