Angel "Java" Lopez en Blog

2 de Abril, 2017


Publicado el 2 de Abril, 2017, 15:10

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En matemáticas es usual expresarse en un lenguaje formal, con enunciados bien formados, armados con un vocabulario especial, con significados precisos. También se apela a reglas lógicas para, dado un conjunto de enunciados, generar uno nuevo. Un teorema es una serie, posiblemente larga, de ese tipo de pasos: cada paso elemental produce, a partir de unos enunciados y una regla lógica, un nuevo enunciado.

En el anterior post, mencioné "verdad". Es importante entender que se considera verdadero en matemáticas es preciso. Cada enunciado que tenemos en un sistema formal, es verdadero o falso: no hay medias tintas (por lo menos en una lógica bivalente). En sistemas formales se toma:

- un conjunto de enunciados como verdaderos (axiomas)
- reglas de inferencia de nuevos enunciados
- algunas definiciones para simplificar los enunciados

Veamos un ejemplo sencillo. Tenemos los números naturales como campo de nuestro sistema formal, y tenemos definido el concepto de sucesor y un número inicial, el cero. También tenemos algunas definiciones como

1 = s(0)
2 = s(1) = s(s(0))

donde s es "sucesor". Demostremos en este sistema que:

1 + 1 = 2

Vean que tenemos entonces, entre los conceptos a manejar, una operación binaria de suma. Pero para una máquina que manipule símbolos, el enunciado sólo tiene un carácter especial +, nada más.

Mencionaré los axiomas que usaremos a medida que aparezcan. Usemos un axioma, que expresa que el cero es neutro a derecha para la suma:

para todo x se cumple x + 0 = x

Si hacemos x=1, queda el enunciado particular

1 + 0 = 1

que no es parte de los axiomas, sino que lo derivamos.

Usemos el axioma que permite definir los resultados de una suma basados en la función sucesor:

para todo x, y se cumple x + s(y) = s(x + y)

Si hacemos x=1, y=0, tenemos el enunciado particular:

1 + s(0) = s(1 + 0)

Pero sabemos por un paso anterior que 1 + 0 = 1, queda

1 + s(0) = s(1)

Pero sabemos por definición que s(0)=1, s(1)=2, queda

1 + 1 = 2

como queríamos demostrar. Este es un ejemplo sencillo de demostración desde axiomas en un sistema determinado. Se puede mejorar, usando signos especiales para "para todo", "se cumple" y demás.

Aún en un ámbito tan estudiado como la teoría de números, no tenemos todavía una demostración como la de arriba para la conjetura de Goldbach:

Todo número natural par mayor que dos es la suma de dos primos

Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_conjecture

No tenemos ni una demostración ni una refutación de esta conjetura. Una refutación podría ser un teorema que pruebe lo contrario (existe un número par mayor que 2 que no puede expresarse como de dos primos), aunque no construya y muestre ese número. O puede refutarse mostrando un número par que no pueda expresarse de esa forma. La cuestión que acá tenemos un enunciado (bien formado) que debe ser o verdadero o falso, pero no sabemos todavía demostrar ni lo uno ni lo otro..

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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