Publicado el 18 de Mayo, 2017, 8:42
Todas las semanas hay una reunión del Café Filosófico en Buenos Aires. Más información (lugar, horarios, aranceles,.. ) en: http://www.filosofiaparalavida.com.ar/cafefilosofico.htm Recibo el tema de esta semana:
Hay mucho para investigar, y para discutir. Pienso que estamos recién en los albores de aplicar la neurociencia a la conducta compleja humana. Pero por algunos puntos hay que comenzar. Por ejemplo, es clara la influencia de muchas drogas sobre nuestros estados de ánimo, y ahí hay un tema para seguir investigando. Las neuronas espejo son interesantes, pero tal vez se ha puesto mucha expectativa en ellas, para explicar conductas complejas. No conocía a Giovanni Frazzetto. Es interesante como Darwin se interesó por las expresiones usadas en nuestros estados de ánimo, y encontró relación en expresiones de primates. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 16 de Mayo, 2017, 13:36
Publicado el 15 de Mayo, 2017, 8:26
Exploremos el tema desde un punto más algebraico. Sea k un campo (un cuerpo conmutativo, ver Cuerpos y Campos), y sea An(k) o simplemente An, el producto cartesiano de k por sí mismo n veces. Entonces An(k) es el conjunto de n-tuplas de elementos de k. A An(k) la llamamos n-espacio afín. A sus elementos los llamamos puntos (como analogía a los puntos geométricos del plano o del espacio). En particular A1(k) es la línea afín, A2(k) es el plano afín (dejo para otro momento investigar el origen del uso "afín" para estos espacios). Este es origen de "geometría" en lo que estamos estudiando: los resultados los vamos a obtener en conjuntos de esos "puntos" de espacios afines. Veamos de dónde viene lo "algebraico". Recordemos que k[X1, ..., Xn] es el conjunto de los polinomios en n variables, con coeficientes en k (ver El anillo k[X]) Sea F uno de esos polinomios. Se dice que un punto P de An(k) es un cero de F si F(P) = 0. Es decir, si P=(a1,....,an), entonces P es cero si F(a1,....,an) queda valuado en cero. Si F no es un polinomio constante, entonces se llama al conjunto de sus ceros la hipersuperficie definida por F. La denominamos V(F). Un hipersuperficie en A2(k) se llama curva plana afín. Si F es un polinomio de grado uno, V(F) se denomina hiperplano de An(k). Si n=2, es una línea. Este es el punto de partida de toda la geometría algebraica: comenzar a estudiar los conjuntos de ceros de conjuntos de polinomios. Esos conjuntos tienen propiedades muy interesantes. Además de considerar los ceros de un polinomio, podemos considerar los ceros de un CONJUNTO de polinomios de k[X1, ..., Xn]. En este caso, consideramos que P es un punto cero si "se anula" en TODOS los polinomios de ese conjunto. Hay resultados elementales que se deducen de las propiedades de los polinomios. Por ejemplo, el conjunto de ceros de un polinomio F = QP (que es producto de otros dos polinomios) es la UNION de los ceros de Q y los ceros de P, es decir V(F) = V(QP) = V(Q) unión V(P), El conjunto de ceros del conjunto compuesto por dos polinomios F y G, es el conjunto INTERSECCION de los ceros de F y los ceros de G. Es decir, V({F, G}) = V(F) intersección V(G). Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 14 de Mayo, 2017, 15:34
El tema de las curvas elípticas es tan fascinante como amplio. Es a veces difícil saber por dónde empezar, que leer al principio, que investigar. Uno de los libros que me ayudaron a empezar a entender de qué va el tema y sus aplicaciones es: Elementary Number Theory: Primes, Congruences, and Secrets de William Stein. Hay versión para bajarse en http://wstein.org/ent/, actualizado a enero de 2017. Podemos estudiar desde los elementos de la teoría de números, llegando a curvas elípticas en el último capítulo. Además se puede estudiar reciprocidad cuadrática, fracciones continuas, y toda la base elemental de teoría de números. El capítulo 3 es interesante porque explica el uso en criptografía de varios resultados de la teoría de números. (Recordemos acá a Hardy, el "descubridor" de Ramanujan, cultivador de la teoría de números de la que orgulloso decía que no tenía aplicación práctica; se asombraría hoy de cuánto se usa en criptografía). Al principio, Stein escribe:
Al principio del capítulo sobre curvas elípticas, escribe:
Ver la conjetura: https://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjecture Es notable que el problema de saber si un número es congruente o no, carece de solución general: https://en.wikipedia.org/wiki/Congruent_number Para sus ejemplos usa http://www.sagemath.org/ Stein primero define cómo es una curva elíptica dando ejemplo gráfico sobre los reales (no trata las curvas elípticas sobre complejos). Define las curvas elípticas en su forma corta, dependiendo de dos parámetros a, b, sin puntos singulares, y evitando los campos K de característica 2 y 3. Para incluir estos campos, define la forma más general de curvas elípticas, con cinco coeficientes. La primera propiedad no trivial es la estructura de grupo de los puntos de una curva elíptica. Y cómo ese grupo se conserva entre los puntos de coordenada racional. Stein señala que el punto difícil para demostrar la existencia de grupo es probar la asociativada de la "suma de puntos" que define. Menciona tres métodos para demostrarla: apelando a la descripción geométrica, calculándola a partir de las fórmulas para calcular el tercer punto, o sino, desarrollar una teoría general de "divisores de curvas algebraicas" por la cual la asociatividad del grupo sale como un corolario natural. Otro tema que presenta es el uso de curvas elípticas en la factorización de enteros. Enuncia un resultado de Lenstra, el Elliptic Curve Method, inspirado en un método de Pollard (p-1). De ambos da ejemplos. Del método de Lenstra da, más que una demostración rigurosa, una explicación heurística. El tema siguiente es la aplicación de curvas elípticas en criptografía, tema introducido independientemente por Neil Koblitz y Victor Miller a mediados de los ochenta del siglo pasado. Primero discute el análogo de Diffie-Holman, en vez de sobre Z/Zp sobre la curva E(Z/Zp). Luego discute el sistema criptográfico ElGamal. Presenta el problema del logaritmo discreto en curvas elípticas. El tema final es curvas elípticas sobre números racionales, con el importante resultado de Mordell: el grupo de puntos racionales de una curva elíptica tiene base finita, enunciado sin demostración. Menciona el método "de descenso" para calcular esa base, aclarando que no está demostrado que siempre termine exitosamente. Enuncia también un resultado de Mazur, 1976, sobre el grupo de torsión de E(Q), dándolo isomorfo a uno de 15 grupos. El grupo cociente E(Q)/E(Q)tor es un grupo abeliano finitamente generado, entonces es isomorfo a una potencia de Z. Esa número potencia es el rango de E(Q). Hay una conjetura, parte del folclore matemático no asociado a ningún autor en particular, que dice que hay curvas elípticas de cualquier rango arbitrario. Presenta el record mundial de una curva con rango 28. Y notablemente, presenta la relación entre curvas elípticas y números congruentes (números naturales que son la superficie de un triángulo rectángulo de lados racionales). En fin, un libro para comenzar a tomarle el gusto a esto de las curvas elípticas. No discute el caso complejo, ni da todas las demostraciones, pero sirve para introducirse en este mundo interminable, Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 13 de Mayo, 2017, 17:10
Publicado el 12 de Mayo, 2017, 11:45
Publicado el 11 de Mayo, 2017, 15:36
Publicado el 10 de Mayo, 2017, 19:40
Publicado el 7 de Mayo, 2017, 12:55
Ya pasó otro mes, y es tiempo de escribir las nuevas resoluciones. Un repaso de las del mes anterior: - Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente] Mucho trabajo este mes, pero sigo insistiendo para este mes, con las resoluciones: - Escribir sobre Historia de la Ciencia Nos leemos! Angel "Java" Lopez |