Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 15 de Mayo, 2017, 8:26

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Exploremos el tema desde un punto más algebraico. Sea k un campo (un cuerpo conmutativo, ver Cuerpos y Campos), y sea An(k) o simplemente An, el producto cartesiano de k por sí mismo n veces. Entonces  An(k) es el conjunto de n-tuplas de elementos de k. A An(k) la llamamos n-espacio afín. A sus elementos los llamamos puntos (como analogía a los puntos geométricos del plano o del espacio). En particular A1(k) es la línea afín, A2(k) es el plano afín (dejo para otro momento investigar el origen del uso "afín" para estos espacios).

Este es origen de "geometría" en lo que estamos estudiando: los resultados los vamos a obtener en conjuntos de esos "puntos" de espacios afines. Veamos de dónde viene lo "algebraico".

Recordemos que k[X1, ..., Xn] es el conjunto de los polinomios en n variables, con coeficientes en (ver El anillo k[X]) Sea F uno de esos polinomios. Se dice que un punto P de An(k) es un cero de F si F(P) = 0. Es decir, si P=(a1,....,an), entonces P es cero si F(a1,....,an) queda valuado en cero. Si F no es un polinomio constante, entonces se llama al conjunto de sus ceros la hipersuperficie definida por F. La denominamos V(F). Un hipersuperficie en A2(k) se llama curva plana afín. Si F es un polinomio de grado uno, V(F) se denomina hiperplano de An(k). Si n=2, es una línea.

Este es el punto de partida de toda la geometría algebraica: comenzar a estudiar los conjuntos de ceros de conjuntos de polinomios. Esos conjuntos tienen propiedades muy interesantes.

Además de considerar los ceros de un polinomio, podemos considerar los ceros de un CONJUNTO de polinomios de k[X1, ..., Xn]. En este caso, consideramos que P es un punto cero si "se anula" en TODOS los polinomios de ese conjunto.

Hay resultados elementales que se deducen de las propiedades de los polinomios. Por ejemplo, el conjunto de ceros de un polinomio F = QP (que es producto de otros dos polinomios) es la UNION de los ceros de Q y los ceros de P, es decir V(F) = V(QP) = V(Q) unión V(P),

El conjunto de ceros del conjunto compuesto por dos polinomios F y G, es el conjunto INTERSECCION de los ceros de F y los ceros de G. Es decir, V({F, G}) = V(F) intersección V(G).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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