Angel "Java" Lopez en Blog

Enero del 2018


Publicado el 28 de Enero, 2018, 11:38

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Sigo leyendo a David Mumford. Encuentro en su Algebraic Geometry I, una descripción de los temas que emplea en el desarrollo del libro:

Algebraic geometry is not a "primary" mathematical subject, i.e., one which one builds directly from a small and elegant set of axioms or definitions. This makes it very hard to write an introductory book accessible to the 1st year graduate student. In general, this book is aimed at 2nd year students or anyone with at least some basic familiarity with topology, differential and analytic geometry, and commutative algebra.

Enumera algunos resultados que va a usar en el libro. Un resumen:

Topología

- La topología de los conjuntos de puntos, y el concepto de espacio recubridor
- La clasificación de las superficies compactas y orientables
- Los grupos de homotopía

Geometría Diferencial

- Se necesitan conocimientos cálculo avanzado de las formas diferenciales, y el teorema de Stokes
- El teorema de DeRham
- El residuo en un polo

Geometría Analítica

- Variedades complejas
- El teorema de función implícita para las funciones analíticas
- El teorema de Preparación de Weiestrass
- Algunas consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemman

Algebra Conmutativa

- La teoría de campos
- La teoría de anillos, módulos, ideales, especialmente ligados a polinomios
- La descomposición de ideales en anillos noetherianos
- Localización de un anillo
- El teorema de Krull

No importa entender todos estos temas ahora, pero es bueno ver cómo la geometría algebraica de los sesenta del siglo pasado abarca todos estos temas. La topología influye para ocuparse de los "puntos cercanos" en muchos desarrollos. Por otro lado, el concepto de variedad (un concepto muy fructífero) nos trae el cálculo y la geometría analítica (a través de las "coordenadas"), unidas a la topología que una variedad expone. Y las estructuras conmutativas florecen en el medio de todo esto. Gran parte del brillo de la geometría algebraica se debe a esta unión de distintos temas. Cuando un resultado es difícil de probar desde el punto de vista analítico, se puede intentar desde el algebraico y volver. Pero no siempre fue asi: las correspondencias entre variedad algebraica e ideales no es uno a uno, y eso complicó la traducción de los resultados de un ámbito en otro, hasta la llegada de nuevas ideas, en especial desde Grothendieck, donde extendiendo el alcance de esas correspondencias se pudieron establecer estructuras con mejor mapeo uno a uno (ver los enlaces que mencioné en el anterior post),

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
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Publicado el 21 de Enero, 2018, 14:24

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Hace tiempo que no escribo del tema, es tiempo de retomar esta serie. Hay mucho para leer, explorar y estudiar sobre el tema. Mas que revisar cada libro, voy a comentar salteado distintas partes de libros. En estos días estuve leyendo a David Mumford (por ejemplo, su The Red Book of Varieties and Schemes). El desarrollo de la geometría algebraica ha sido notable durante el siglo XX, y justo en estos días encuentro una cita de Mumford, que me resulta importante para entender todo lo que fue pasando en el siglo pasado. Leo en su Algebraic geometry I, Complex Projective Varieties-Springer (1976), casi al comienzo:

... In the 20th century, algebraic geometry has gone through at least 3 distinct phases. In the period 1900-1930, largely under the leadership of the 3 Italians, Castelnuovo, Enriques and Severi, the subject grew immensely. In particular, what the late 19th century had done for curves, this period did for surfaces: a deep and systematic theory of surfaces was created. Moreover, the links between the "synthetic" or purely "algebro-geometric" techniques for studying surfaces, and the topological and analytic techniques were thoroughly explored. However the very diversity of tools available and the richness of the intuitively appealing geometric picture that was built up, led this school into short-cutting the fine details of all proofs and ignoring at times the time-consuming analysis of special cases (e.g., possibly degenerate configurations in a construction). This is the traditional difficulty of geometry, from High School Euclidean geometry on up. In the period 1930-1960, under the leadership of Zariski, Weil, and (towards the end) Grothendieck, an immense program was launched to introduce systematically the tools of commutative algebra into algebraic geometry and to find a common language in which to talk, for instance, of projective varieties over characteristic p fields as well as over the complex numbers. In fact, the goal, which really goes back to Kronecker, was to create a "geometry" incorporating at least formally arithmetic as well as projective geometry. Several ways of achieving this were proposed, but after a somewhat chaotic period in which communication was difficult, it seems fair to say that Grothendieck's "schemes" have become generally accepted as providing the most satisfactory foundations. In the present period 1960 on, algebraic geometry is growing rapidly in many directions at once: to a deeper understanding of geometry in dimensions higher than 2, especially their singularities, and the theory of cycles on them; to uncovering the astonishing connections between the topology of varieties and their Diophantine properties (their rational points over" finite fields and number fields); and to the theory of moduli, i.e., the parameters describing continuous families of varieties.


Escribe esto en 1975, pero ya se veía entonces esa división en etapas sobre el desarrollo de la geometría algebraica, en el siglo XX. Escribiendo en esa época, se le escapa cómo contribuyó este tema a la resolución del famoso último teorema de Fermat: hay igual que reconocer que ése es apenas uno de los temas en los que ha colaborado este "revival" desde la segunda etapa de arriba. Muchos de los desarrollos actuales, no hubieran sido posibles si no se hubiera extendido todo con las nuevas ideas, especialmente desde Grothrendieck.

Para entender la motivación y la importancia de la introducción de los schemes, ver

Why Schemes?

También ver

Basic Modern Algebraic Geometry
https://www.irif.fr/~mellies/mpri/mpri-ens/biblio/Audun-Holme-Basic-Modern-Algebraic-Geometry.pdf
Introduction to Grothendieck"s Theory of Schemes

Donde también tenemos una introducción a categorías.

Para completar la cita de arriba, leer

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry#20th_century

Donde encuentro:

An important class of varieties, not easily understood directly from their defining equations, are the abelian varieties, which are the projective varieties whose points form an abelian group. The prototypical examples are the elliptic curves, which have a rich theory. They were instrumental in the proof of Fermat's last theorem and are also used in elliptic curve cryptography.

El desarrollo de las curvas elípticas ha sido notable, y como cita Wikipedia, han encontrado su utilización en la criptografía. Hoy, los famosos Bitcoins, tiene curva elíptica en el fondo de su seguridad. El que los puntos de una curva formen un grupo, es notable y muy interesante. El primer ejemplo lo tenemos en los puntos de una circunferencia. Y cuando los puntos son racionales, su producto por el grupo, es racional (corresponde a la suma de ángulos; en curvas elípticas es menos trivial).

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 17 de Enero, 2018, 12:13

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The (Math) Problem With Pentagons
https://www.quantamagazine.org/the-math-problem-with-pentagons-20171211/

Mathematicians Crack the Cursed Curve
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-crack-the-cursed-curve-20171207/

A Physicist"s Physicist Ponders the Nature of Reality
https://www.quantamagazine.org/edward-witten-ponders-the-nature-of-reality-20171128/

A Mathematician Who Dances to the Joys and Sorrows of Discovery
https://www.quantamagazine.org/mathematician-federico-ardila-dances-to-the-joys-and-sorrows-of-discovery-20171120/

Algebraic Variety
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_variety

K-Theory
https://en.wikipedia.org/wiki/K-theory

Alexander Grothendieck
https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck

John Milnor
https://en.wikipedia.org/wiki/John_Milnor

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 10 de Enero, 2018, 12:21

Al fin comenzó un nuevo año, y es hora de escribir las resoluciones para el nuevo mes. Una revisión de las del mes pasado:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [completo] ver post
- Escribir sobre Números Algebraicos [pendiente]
- Escribir sobre Geometría Algebraica [pendiente]
- Escribir sobre Curvas Elípticas [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Seguí bastante ocupado profesionalmente. Sigo estudiando algunos de esos temas de arriba, pero me falta pasar por escrito evidencia, y compartir lo aprendido. Mientras, sigo insistiendo en las resoluciones, en este primer mes del año:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Números Algebraicos
- Escribir sobre Geometría Algebraica
- Escribir sobre Curvas Elípticas
- Estudiar blues en guitarra

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 8 de Enero, 2018, 11:00

Ya escribí sobre Henri Poincaré en:

Cómo piensa un matemático
Anécdota de Henri Poincaré
Poincaré y la belleza en ciencia
La creación matemática, según Poincaré

Esta semana leo una nueva anécdota, sobre su descubrimiento de las funciones fuchsianas (hoy conocidas como automorfas), donde se ve el grado de concentración que exhibía cuando estaba entusiasmado con un problema. Escribe su compañero de la escuela politécnica León Lecornu, de una Nochevieja que pasaron juntos en Caen:

En esa época él estaba más distraído que nunca. Yo le había invitado a cenar en casa de mis padres el 31 de diciembre de 1879, y todavía puedo verlo pasar la velada andando para arriba y para abajo, no escuchando nada de lo que se le decía o respondiendo apenas con monosílabos, y olvidando qué hora era, tanto que pasada la medianoche decidí recordarle amablemente que estábamos en 1880. En ese momento pareció volver a poner los pies en el suelo, y se despidió de nosotros. Unos días más tarde, nos encontramos en el puerto de Caen, y casualmente me dijo: "Ahora sé cómo integrar todas las ecuaciones diferencias". Las funciones fuchsianas habían nacido, y supe entonces en qué estaba pensado cuando pasaba de 1879 a 1880.

Encuentro este texto citado en una biografía de Poincaré, muy interesante, de Alberto Tomás Pérez Izquierdo, Editorial RBA, que acá en Argentina la está publicando el diario La Nación.

Poincaré narró algunas veces sobre su proceso de pensamiento, ver:

Más sobre la creación matemática, según Poincaré

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 6 de Enero, 2018, 13:13

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Más sobre Grothendiecks, teoría de categorías, una buena explicación del lema de Yoneda. Interesante analogía física para las soluciones diofánticas.

Lectures on An Introduction to Grothendieck"s Theory of the Fundamental Group
http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr40.pdf

Hom functor
https://en.wikipedia.org/wiki/Hom_functor

Representable functor
https://en.wikipedia.org/wiki/Representable_functor

Yoneda lemma
https://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_lemma

Can someone explain the Yoneda Lemma to an applied mathematician?
https://math.stackexchange.com/questions/37165/can-someone-explain-the-yoneda-lemma-to-an-applied-mathematician

Mathematicians Find Wrinkle in Famed Fluid Equations
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-wrinkle-in-famed-fluid-equations-20171221/

A Mathematician Who Decodes the Patterns Stamped Out by Life
https://www.quantamagazine.org/a-mathematician-who-decodes-the-patterns-stamped-out-by-life-20171220/

Secret Link Uncovered Between Pure Math and Physics
https://www.quantamagazine.org/secret-link-uncovered-between-pure-math-and-physics-20171201/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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