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Sigo leyendo a David Mumford. Encuentro en su Algebraic Geometry I, una descripción de los temas que emplea en el desarrollo del libro:

Algebraic geometry is not a "primary" mathematical subject, i.e., one which one builds directly from a small and elegant set of axioms or definitions. This makes it very hard to write an introductory book accessible to the 1st year graduate student. In general, this book is aimed at 2nd year students or anyone with at least some basic familiarity with topology, differential and analytic geometry, and commutative algebra.

Enumera algunos resultados que va a usar en el libro. Un resumen:

Topología

- La topología de los conjuntos de puntos, y el concepto de espacio recubridor
- La clasificación de las superficies compactas y orientables
- Los grupos de homotopía

Geometría Diferencial

- Se necesitan conocimientos cálculo avanzado de las formas diferenciales, y el teorema de Stokes
- El teorema de DeRham
- El residuo en un polo

Geometría Analítica

- Variedades complejas
- El teorema de función implícita para las funciones analíticas
- El teorema de Preparación de Weiestrass
- Algunas consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemman

Algebra Conmutativa

- La teoría de campos
- La teoría de anillos, módulos, ideales, especialmente ligados a polinomios
- La descomposición de ideales en anillos noetherianos
- Localización de un anillo
- El teorema de Krull

No importa entender todos estos temas ahora, pero es bueno ver cómo la geometría algebraica de los sesenta del siglo pasado abarca todos estos temas. La topología influye para ocuparse de los "puntos cercanos" en muchos desarrollos. Por otro lado, el concepto de variedad (un concepto muy fructífero) nos trae el cálculo y la geometría analítica (a través de las "coordenadas"), unidas a la topología que una variedad expone. Y las estructuras conmutativas florecen en el medio de todo esto. Gran parte del brillo de la geometría algebraica se debe a esta unión de distintos temas. Cuando un resultado es difícil de probar desde el punto de vista analítico, se puede intentar desde el algebraico y volver. Pero no siempre fue asi: las correspondencias entre variedad algebraica e ideales no es uno a uno, y eso complicó la traducción de los resultados de un ámbito en otro, hasta la llegada de nuevas ideas, en especial desde Grothendieck, donde extendiendo el alcance de esas correspondencias se pudieron establecer estructuras con mejor mapeo uno a uno (ver los enlaces que mencioné en el anterior post),

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez