Angel "Java" Lopez en Blog

Febrero del 2018


Publicado el 18 de Febrero, 2018, 14:00

En 1945 se publica el "paper" seminal de toda la teoría de categorías, el "General theory of natural equivalences", de Eilenberg y McLane. Ambos autores habían comenzado a colaborar apenas unos años antes. Leo en "Tool and Object, A History and Philosophy of Category Theory" de Ralf Krömer, en el capítulo 2:

Around the beginning of the 1940s, Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane were working in (at first glance) very different domains: Eilenberg was interested in questions of algebraic topology, Mac Lane in algebraic number theory. The impulse for their collaboration was the observation of unexpected overlappings of both domains. (And it is a "slogan" of later CT that quite different domains may be related in an unexpected manner.)

Eilenberg estaba investigando solenoides, que son espacios topológicos con algunas características especiales. McLane se dedicaba entonces al estudio de la extensión de grupos. En el libro de arriba, se cita a Eilenberg, 1993, "Karol Borsuk—personal reminiscences.” Topol. Methods Nonlinear
Anal. 1:

When Saunders Mac Lane lectured in 1940 at the University of Michigan on group extensions one of the groups appearing on the blackboard was exactly the group calculated by Steenrod [H1(S3 Σ, Z)]. I recognized it and spoke about it to Mac Lane. The result was the joint paper...

Ese "paper" es de 1942, "Group extensions and homology", al que le seguiría en ese mismo año el "Natural isomorphisms in group theory". Pero la gran relación que apareció fue entre homología en topología y las extensiones de grupo.

Por su parte, McLane escribe en 1989, “The development of mathematical ideas by collision: the case of categories and topos theory.” En Categorical topology and its relation to analysis, algebra and combinatorics

[Mac Lane] had calculated a particular case [of Ext(G,A)] which seemed of interest: That in which G is the abelian group generated by the list of elements an, where an+1 = pan for a prime p. After a lecture by Mac Lane on this calculation, Eilenberg pointed out that the calculation closely esembled that for the regular cycles of the p-adic solenoid [ . . . ]

Ver también:

https://plato.stanford.edu/entries/category-theory/

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 17 de Febrero, 2018, 10:11

Un tema que siempre vuelve a aparecer ni bien estudio algo relacionado con álgebra, como topología algebraica o geometría algebraica, es la teoría de categorías. Nacida a mediados del siglo XX, para muchos matemáticos es un gran avance, algo que se refleja en el avance de las matemáticas en la segunda mitad de ese siglo: el trabajo de Grothendieck y sus colegas llevó nuevas ideas a la álgebra conmutativa, basado principalmente en ideas que sin teoría de categorías hubiera sido más difícil de expresar. Podríamos decir que la prueba de Wiles del Ultimo Teorema de Fermat no hubiera sido posible sin la aparición del lenguaje de categorías, que fue necesario para conseguir demostrar conjeturas que con métodos clásicos no habían podido probarse.

Últimamente, el tema volvió a mis lecturas especialmente en el estudio de la geometría algebraica (ver Estudiando Geometría Algebraica). El estudio de las categorías puede ser algo pesado, y sin tener en claro las motivaciones para algunas definiciones y construcciones, uno se puede perder en teoremas y deducciones, interesantes, pero que tiene algo de vaporoso, de complicado sin tener razón de ser para haber sido ideadas.

En esta nueva serie, quería compartir algunas lecturas, antes de seguir con mi serie Teoría de Categorías. Un descubrimiento de este año es el "Basic Category Theory" de Leinster, ver:

https://arxiv.org/abs/1612.09375

Leo:

Category theory takes a bird’s eye view of mathematics. From high in the sky, details become invisible, but we can spot patterns that were impossible to detect from ground level. How is the lowest common multiple of two numbers like the direct sum of two vector spaces? What do discrete topological spaces, free groups, and fields of fractions have in common? We will discover answers to these and many similar questions, seeing patterns in mathematics that you may never have seen before.

Sí, es una vista a vuelo de pájaro. Lo que las categorías han traido es una extensión de la abstracción en matemáticas, tendencia que comenzó en el siglo XIX y luego floreció a principios del siglo XX, por ejemplo, con los trabajos de Emmy Noether. Esa abstracción no siempre es bien recibida o al menos, no siempre se percibe que se gana con ella: a veces, los temas a unir son tan separados que el especialista en uno de ellos puede no ver la utilidad de emplear un nivel más alto de abstracción.

Pero acá viene un punto importante, que es la razón de mi preferencia por este libro y autor:

The most important concept in this book is that of universal property. The further you go in mathematics, especially pure mathematics, the more universal properties you will meet. We will spend most of our time studying different manifestations of this concept.

Este énfasis en las propiedades universales no siempre es evidente en otros libros. Pero es el hilo conductor para comenzar a enteder de qué va la teoría de categorías, para empezar a verla como algo más que abstracción por la abstracción pura.

En próximo post comentaré los tres caminos de Leinster para estudiar las propiedades universales. Y luego, en otros post, comentare brevemente otras fuentes conocidas, como el gran libro de Eilenberg y McLane.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 13 de Febrero, 2018, 13:16

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Irreducible Elements in an Unique Factorization Domain are Prime
https://math.stackexchange.com/questions/257955/irreducibles-are-prime-in-a-ufd

A principal ideal ring that is not a euclidean ring
http://www.math.buffalo.edu/~dhemmer/619F11/WilsonPaper.pdf

Ring of integers is a Principal Ideal Domain but not a Euclidean domain
https://math.stackexchange.com/questions/857971/ring-of-integers-is-a-pid-but-not-a-euclidean-domain

An example of a principal ideal domain which is not a Euclidean domain
http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/MTH5100/PIDnotED.pdf

A Short Introduction to Schemes
http://math.stanford.edu/~brianrl/notes/schemes.pdf

Foundations of Algebraic Geometry
http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf

David Mumford
https://en.wikipedia.org/wiki/David_Mumford

Math & Beauty & Brain Areas
http://www.dam.brown.edu/people/mumford/blog/2015/MathBeautyBrain.html

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 10 de Febrero, 2018, 11:39

Ya comenzó el segundo mes del año, en una calurosa Buenos Aires. Y como es costumbre, tiempo de escribir mis resoluciones públicas mensuales (no profesionales). Primero, siempre el repaso de las del mes pasado:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Números Algebraicos [pendiente]
- Escribir sobre Geometría Algebraica [parcial] ver abajo
- Escribir sobre Curvas Elípticas [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Tenía posts "in pectore" sobre historia de la ciencia y de las matemáticas, pero no llegué a tiempo a escribirlos. Y si bien mi intención era escribir sobre geometría algebraica, en mi serie de posts, terminé extendiendo otra serie relacionada:

Estudiando Geometría Algebraica (2)
Estudiando Geometría Algebraica (3)
Estudiando Geometría Algebraica (4)
Estudiando Geometría Algebraica (5)

Para este mes, sigo insistiendo con:

- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Números Algebraicos
- Escribir sobre Geometría Algebraica
- Escribir sobre Curvas Elípticas
- Estudiar blues en guitarra

Nos leemos!

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Publicado el 5 de Febrero, 2018, 13:56

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Blockchain 101 - Elliptic Curve Cryptography
https://eng.paxos.com/blockchain-101-elliptic-curve-cryptography

Zariski Topology
http://mathworld.wolfram.com/ZariskiTopology.html

Coordinate Ring
http://mathworld.wolfram.com/CoordinateRing.html

Krull Dimension
http://mathworld.wolfram.com/KrullDimension.html

Irreducible Elements
https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_element

Any Prime is Irreducible
https://math.stackexchange.com/questions/69504/any-prime-is-irreducible

Prime implies Irreducible
https://math.stackexchange.com/questions/1149078/prime-implies-irreducible

Irreducible Elements in a Principal Ideal Domain are Prime
https://math.stackexchange.com/questions/770731/irreducible-elements-in-a-pid-are-prime

Nos leemos!

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Publicado el 4 de Febrero, 2018, 13:30

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Uno de los libros que mencioné en el post anterior, es el:

Undergraduate Commutative Algebra, Miles Reid
http://xavirivas.com/cloud/Commutative%20Algebra/Reid%20M.%20Undergraduate%20commutative%20algebra%20(CUP,%201995)(L)(T)(82s).PDF

Leo ahí:

These are notes from a commutative algebra course taught at the University of Warwick several times since 1978. In addition to standard  material, the book contrasts the methods and ideology of abstract algebra as practiced in the 20th century with its concrete applications in algebraic eometry and algebraic number theory.

Para Reid, el libro tiene que ir más allá del tratamiento del álgebra abstracta, desarrollada principalmente en el siglo pasado. Tiene que brindar un puente hacia la geometría algebraica y hacia la teoría de números algebraicos. Y por lo que examiné, el libro lo logra. Algo se va asomando en su capítulo 0, donde leo:

The purpose of this course is to build one of the bridges between algebra and geometry. Not the Erlangen program (linking geometries via transformation groups with abstract group theory) but a quite different bridge linking rings A and geometric objects X; the basic idea is that it is often possible to view a ring A as a certain ring of functions on a space X, to recover X as the set of maximal or prime ideals of A, and to derive pleasure and profit from the two-way traffic between the different worlds on each side.


Eso es clave: establecer relaciones entre álgebra y geometría. ¿Qué encontramos en geometría general? Al menos puntos (algo que no menciona Reid arriba). Los espacios X en general se pueden considerar espacios de puntos. También encontramos puntos en espacios de topología. Eso va a servir como primer puente con anillos. A cada punto de un espacio X le vamos a hacer corresponder algo en un anillo A: le vamos a asociar un ideal (primo o maximal, no cualquiera). También puede que aparezca asociado a un punto un conjunto de ideales. Son detalles a estudiar.

Pero lo importante es que el puente se comienza a vislumbrar: puntos por un lado, ideales por el otro. La historia de las matemáticas encontró que esa relación es fructífera, más alla de las primeras ideas de geometría algebraica, que comenzó prácticamente cuando Descartes inventó las coordenadas. Es notable hasta donde ha llegado el álgebra conmutativa y la geometría algebraica siguiendo este camino. Leer algo más detallado el desarrollo y motivación de esta relación en:

Why schemes?
http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/07-08/Spring/18.726/l_1.pdf

Como en otras historias de matemáticas, se encontró que ciertas correspondencias revelan relaciones inesperadas, no evidentes. Y que al haber una correspondencia, por ejemplo, entre conceptos de álgebra y de geometría/topología, cuando un problema algebraico parece difícil, se puede intentar abordarlo desde el punto de vista geométrico, y lo mismo en reverso.

Parte de esta relación entre anillos (de polinomios en este caso) y puntos de X, es lo que estoy desarrollando en:

Geometría Algebraica
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2017/05/15/geometria-Algebraica-2.html

Notablemente, todo este camino permitió llegar a demostrar el Ultimo Teorema de Fermat.

Nos leemos!

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Publicado el 3 de Febrero, 2018, 12:26

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Uno de los libros que quiero comentar en esta serie, es el Hartshorne, Algebraic Geometry. Desde su publicación en 1977, se transformó en un "clásico", por su detalllado desarrollo, con figuras, discusión, ejercicios... Eso que es común en muchas ramas de las matemáticas (tener un libro para los estudiantes que quieran comenzar con un tema nuevo) hasta ese momento no había sido así en la geometría algebraica moderna. Luego de los avances de Grothendieck y escuela, no había una exposición accesible al tema para matemáticos en general. En estos días encuentro la discusión de:

What are the required backgrounds of Robin Hartshorne's Algebraic Geometry book?https://math.stackexchange.com/questions/202930/what-are-the-required-backgrounds-of-robin-hartshornes-algebraic-geometry-book

Es interesante leer ahí:

With just a typical undergrad algebra course as background, I think Hartshorne would be out of reach. David Eisenbud's "Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry" might make a better starting point (this text was written sort of as background for Hartshorne -- notice the pun in the title)

O sea, hay que tener conocimientos de álgebra conmutativa, que abarca anillos conmutativos, ideales, cualidades de anillos noetherianos, polinomios, etc.. Un libro que me gusta para ese tema, es el Curvas Algebraicas de Fulton (hay edición en español, editorial Reverté), Lo puede descargar de

Algebraic Curves, Fulton
http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf

Otro libro para estudiar esos temas, antes de llegar a la geometría algebraica de lleno, es el Introduction to Algebraic Geometry, de Atiyah, McDonalds (de nuevo, hay edición en español de editorial Reverté). Tengo que visitar también, otros mencionados en ese enlace de arriba:

Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space
https://www.amazon.com/dp/3540548122/?tag=stackoverflow17-20

y las notables notas de Milne

Algebraic Geometry, J.S.Milne
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ag.html

Y el de Reid

Undergraduate Algebraic Geometry, Miles Reid
https://homepages.warwick.ac.uk/staff/Miles.Reid/MA4A5/UAG.pdf

que también tiene publicado un libro de álgebra conmutativa, que vimos se recomienda dominar antes de llegar a la geometría algebraica

Undergraduate Commutative Algebra, Miles Reid
http://xavirivas.com/cloud/Commutative%20Algebra/Reid%20M.%20Undergraduate%20commutative%20algebra%20(CUP,%201995)(L)(T)(82s).PDF

Tengo más para comentar de estos libros, y de otras respuestas a cómo comenzar con la geometría algebraica y el álgebra conmutativa en general.

Nos leemos!

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Publicado el 2 de Febrero, 2018, 13:42

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Exotic Spheres
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/exotic.htm

On manifold homeomorphic to the 7-sphere
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/exotic.pdf

Spectrum of a ring
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_of_a_ring

What are the required backgrounds of Robin Hartshorne's Algebraic Geometry book?
https://math.stackexchange.com/questions/202930/what-are-the-required-backgrounds-of-robin-hartshornes-algebraic-geometry-book

Path to Basics in Algebraic Geometry from HS Algebra and Calculus?
https://math.stackexchange.com/questions/285201/path-to-basics-in-algebraic-geometry-from-hs-algebra-and-calculus/285355#285355

(undergraduate) Algebraic Geometry Textbook Recommendations
https://math.stackexchange.com/questions/1748/undergraduate-algebraic-geometry-textbook-recommendations/24443#24443

Algebraic Curves, Fulton
http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf

Math 624/5, Algebraic Geometry, 2008/2009
http://www.math.upenn.edu/~chai/624_08/math624_08.html

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