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Uno de los libros que quiero comentar en esta serie, es el Hartshorne, Algebraic Geometry. Desde su publicación en 1977, se transformó en un "clásico", por su detalllado desarrollo, con figuras, discusión, ejercicios... Eso que es común en muchas ramas de las matemáticas (tener un libro para los estudiantes que quieran comenzar con un tema nuevo) hasta ese momento no había sido así en la geometría algebraica moderna. Luego de los avances de Grothendieck y escuela, no había una exposición accesible al tema para matemáticos en general. En estos días encuentro la discusión de:

What are the required backgrounds of Robin Hartshorne's Algebraic Geometry book?https://math.stackexchange.com/questions/202930/what-are-the-required-backgrounds-of-robin-hartshornes-algebraic-geometry-book

Es interesante leer ahí:

With just a typical undergrad algebra course as background, I think Hartshorne would be out of reach. David Eisenbud's "Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry" might make a better starting point (this text was written sort of as background for Hartshorne -- notice the pun in the title)

O sea, hay que tener conocimientos de álgebra conmutativa, que abarca anillos conmutativos, ideales, cualidades de anillos noetherianos, polinomios, etc.. Un libro que me gusta para ese tema, es el Curvas Algebraicas de Fulton (hay edición en español, editorial Reverté), Lo puede descargar de

Algebraic Curves, Fulton
http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf

Otro libro para estudiar esos temas, antes de llegar a la geometría algebraica de lleno, es el Introduction to Algebraic Geometry, de Atiyah, McDonalds (de nuevo, hay edición en español de editorial Reverté). Tengo que visitar también, otros mencionados en ese enlace de arriba:

Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space
https://www.amazon.com/dp/3540548122/?tag=stackoverflow17-20

y las notables notas de Milne

Algebraic Geometry, J.S.Milne
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ag.html

Y el de Reid

Undergraduate Algebraic Geometry, Miles Reid
https://homepages.warwick.ac.uk/staff/Miles.Reid/MA4A5/UAG.pdf

que también tiene publicado un libro de álgebra conmutativa, que vimos se recomienda dominar antes de llegar a la geometría algebraica

Undergraduate Commutative Algebra, Miles Reid
http://xavirivas.com/cloud/Commutative%20Algebra/Reid%20M.%20Undergraduate%20commutative%20algebra%20(CUP,%201995)(L)(T)(82s).PDF

Tengo más para comentar de estos libros, y de otras respuestas a cómo comenzar con la geometría algebraica y el álgebra conmutativa en general.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez