Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 4 de Febrero, 2018, 13:30

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Uno de los libros que mencioné en el post anterior, es el:

Undergraduate Commutative Algebra, Miles Reid
http://xavirivas.com/cloud/Commutative%20Algebra/Reid%20M.%20Undergraduate%20commutative%20algebra%20(CUP,%201995)(L)(T)(82s).PDF

Leo ahí:

These are notes from a commutative algebra course taught at the University of Warwick several times since 1978. In addition to standard  material, the book contrasts the methods and ideology of abstract algebra as practiced in the 20th century with its concrete applications in algebraic eometry and algebraic number theory.

Para Reid, el libro tiene que ir más allá del tratamiento del álgebra abstracta, desarrollada principalmente en el siglo pasado. Tiene que brindar un puente hacia la geometría algebraica y hacia la teoría de números algebraicos. Y por lo que examiné, el libro lo logra. Algo se va asomando en su capítulo 0, donde leo:

The purpose of this course is to build one of the bridges between algebra and geometry. Not the Erlangen program (linking geometries via transformation groups with abstract group theory) but a quite different bridge linking rings A and geometric objects X; the basic idea is that it is often possible to view a ring A as a certain ring of functions on a space X, to recover X as the set of maximal or prime ideals of A, and to derive pleasure and profit from the two-way traffic between the different worlds on each side.


Eso es clave: establecer relaciones entre álgebra y geometría. ¿Qué encontramos en geometría general? Al menos puntos (algo que no menciona Reid arriba). Los espacios X en general se pueden considerar espacios de puntos. También encontramos puntos en espacios de topología. Eso va a servir como primer puente con anillos. A cada punto de un espacio X le vamos a hacer corresponder algo en un anillo A: le vamos a asociar un ideal (primo o maximal, no cualquiera). También puede que aparezca asociado a un punto un conjunto de ideales. Son detalles a estudiar.

Pero lo importante es que el puente se comienza a vislumbrar: puntos por un lado, ideales por el otro. La historia de las matemáticas encontró que esa relación es fructífera, más alla de las primeras ideas de geometría algebraica, que comenzó prácticamente cuando Descartes inventó las coordenadas. Es notable hasta donde ha llegado el álgebra conmutativa y la geometría algebraica siguiendo este camino. Leer algo más detallado el desarrollo y motivación de esta relación en:

Why schemes?
http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/07-08/Spring/18.726/l_1.pdf

Como en otras historias de matemáticas, se encontró que ciertas correspondencias revelan relaciones inesperadas, no evidentes. Y que al haber una correspondencia, por ejemplo, entre conceptos de álgebra y de geometría/topología, cuando un problema algebraico parece difícil, se puede intentar abordarlo desde el punto de vista geométrico, y lo mismo en reverso.

Parte de esta relación entre anillos (de polinomios en este caso) y puntos de X, es lo que estoy desarrollando en:

Geometría Algebraica
http://ajlopez.zoomblog.com/archivo/2017/05/15/geometria-Algebraica-2.html

Notablemente, todo este camino permitió llegar a demostrar el Ultimo Teorema de Fermat.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez