Angel "Java" Lopez en Blog

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Como comentaba en el anterior post, teoría de categorías aparece en varios temas de las matemáticas modernas. Inspirada por la topología y los grupos (ver Eilenberg y McLane, el encuentro) se ha ido afirmando como una rama de las matemáticas más fundamentales, aunque hay quienes la critican por su generalidad.

En estos días me encuentro con:

Category Theory, Lectures Notes for ESSLLI

de Michael Barr y Charles Wells. Es un resumen de su libro Category Theory for Computing Science. Leo ahí:

Categories originally arose in mathematics out of the need of a formalism to describe the passage from one type of mathematical structure to another. A category in this way represents a kind of mathematics, and may be described as category as mathematical workspace.

Ese es un gran punto: pasa de una estructura matemática a otra. Una categoría muestra esos pasajes, los pone de manifiesto, y deja entrever la unidad subyacente en el tipo de estructura estudiado (sean conjuntos, grupos, anillos, módulos, espacios topológicos, etc...)

Luego:

A category is also a mathematical structure. As such, it is a common generalization of both ordered sets and monoids (the latter are a simple type of algebraic structure that include transition systems as examples), and questions motivated by those topics often have interesting answers for categories. This is category as mathematical structure.

Acá aparece más potencia: una categoría, con sus functores, puede ser un objeto de una categoría más grande. Al fin, una categoría es una estructura matemática más, que puede tener pasajes (functores) a otras categorías.

Y algo que no tuve tanto en cuenta cuando comencé hace años a conocer lo que es una categoría, pero que Barr y Wells explican en este resumen y con más detalle en su libro:

Finally, a category can be seen as a structure that formalizes a mathematician’s description of a type of structure. This is the role of categoryas theory. Formal descriptions in mathematical logic are traditionally given as formal languages with rules for forming terms, axioms and equations. Algebraists long ago invented a formalism based on tuples, the method of signatures and equations, to describe algebraic structures. Category theory provides another approach: the category is a theory and functors with that category as domain are models of the theory.

No es fácil explicarlo sin ejemplos y desarrollo concreto, pero al fin una categoría puede servir para describir un tipo, sus operaciones y transformaciones. Un ejemplo que Barr y Wells exponen es describir a los números naturales con un grafo, que puede ser usado como categoría, similar a los axiomas de Peano.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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