Angel "Java" Lopez en Blog

Julio del 2018

Publicado el 31 de Julio, 2018, 22:31

Isaac Newton tuvo un interesante intercambio epistolar con Richard Bentley, uno de los teólogos principales de Inglaterra, con gran interés en la ciencia. Un fragmento de una respuesta me parece interesante de compartir:

is unconceivable that inanimate brute matter should (without the mediation of something else which is not material) operate upon & affect other matter without mutual contact; as it must if gravitation in the sense of Epicurus be essential & inherent in it. And this is one reason why I desired you would not ascribe {innate} gravity to me. That gravity should be innate inherent & {essential} to matter so that one body may act upon another at a distance through a vacuum without the mediation of any thing else by & through which their action or force {may} be conveyed from one to another is to me so great an absurdity that I beleive no man who has in philosophical matters any competent faculty of thinking can ever fall into it. Gravity must be caused by an agent {acting} consta{ntl}y according to certain laws, but whether this agent be material or immaterial is a question I have left to the consideration of my readers.

Newton rechaza como absurdo que la gravedad pueda actuar a distancia a través del vacío sin la mediación de nada. No puede describir el agente intermedio, ni siquiera si es "material o no material" según su ontología. Al menos para mí, no queda claro si Newton podría aceptar una acción a distancia INSTANTANEA, mediando ese desconocido agente. Tengo que comentar en algún post futuro, la posición de Laplace, que se planteó alguna vez si la acción de la gravedad era instantánea o no, y si hasta se ejercía de la misma forma en un cuerpo "en reposo" que sobre uno "en movimiento". Hay más para comentar sobre otros fragmentos de Newton a Bentley, por ejemplo, su postura sobre la distribución de la materia, y si el universo es infinito o no.

Mientras, mis referencias son:

The Newton-Bentley Exchange
Original letter from Isaac Newton to Richard Bentley

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 23 de Julio, 2018, 12:30

Este mes estoy leyendo sobre algunos temas matemáticos, como geometría algebraica, teoría de grupos, teoría de categorías, hipótesis de Riemann, teoría de Galois, teoría de números, curvas elípticas, historia de las matemáticas. Sobre los últimos temas, encuentro mucho para leer en Ian Stewart. Escribió varios libros de divulgación y también de texto. Estos últimos son muy interesantes, porque si bien son técnicos, están escritos (a veces con coautor) de una forma accesible, amena, con notas históricas. Leo en su "Galois Theory", un párrafo sobre los grandes problemas de las matemáticas.

A physicist friend of mine once told me that while every physicist knew what the big problems of physics were, his mathematical colleagues never seemed to be able to tell him what the big problems of mathematics were. It took me a while to realise that this doesn't mean that they don't know, and even longer to articulate why. The reason, I claim, is that the big problems of physics, at any given moment, are very specific challenges: measure the speed of light, prove that the Higgs boson exists, find a theory to explain high-temperature superconductors. Mathematics has problems like that, too, indeed, Galois tackled one of them—prove that the quintic cannot be solved by radicals. But the big problems of mathematics are more general, and less subject to fashion (or disappearance by virtue of being solved). They are things like "find out how to solve equations like this one", "find out what shape things like this are", or even "find out how many of these gadgets can exist". Mathematicians know this, but it is so deeply ingrained in their way of thinking that they are seldom conscious of it. But such problems have given rise to entire fields of mathematics, here, respectively, algebra, topology, and combinatorics. I mention this because it is the first of the above big problems that runs like an ancient river through the middle of the territory we are going to explore. Find out how to solve equations. Or, as often as not, prove that it cannot be done with specified methods. ¿What sort of equations? For Galois: polynomials.

Bueno, hay igual grandes problemas matemáticos, que han impulsado el desarrollo de matemáticas notables (el ejemplo más conocido por todos es el llamado Ultimo Teorema de Fermat, sobre el cual Stewart también escribió un libro matemático). Hasta el propio Stewart escribió un libro de divulgación sobre algunos grandes problemas matemáticos. Podemos también recordar la lista de problemas de Hilbert, y el programa de Langlands.

Tanto en ideas generales como en problemas grandes, la matemática de este siglo está bien provista.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 22 de Julio, 2018, 12:58

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A glimpse of the Laureate"s work

From quadratic reciprocity to Langlands" program

17 handwritten pages that shaped a whole area of mathematical research

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 18 de Julio, 2018, 11:14

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 16 de Julio, 2018, 17:09

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: China

Publicado el 15 de Julio, 2018, 11:28

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Leech Lattice

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On the Infinitude of the Prime Numbers
Euler's Proof

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 14 de Julio, 2018, 12:19

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 10 de Julio, 2018, 10:39

Otra mitad de año que pasa, tiempo de escribir las resoluciones personales públicas del mes. Antes, una revisión de las de junio:

- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Historia de la Física [completo] ver post
- Escribir sobre Geometría Algebraica [pendiente]
- Escribir sobre Curvas Elípticas [pendiente]
- Escribir sobre Teoría de Categorías [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Además escribí

Notas Sobre Teoría de Grupos (1)

Mis resoluciones para julio son:

- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra

Espero poder retomar algunos temas de matemáticas, como teoría de grupos, hipótesis de Riemann.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez

Publicado el 9 de Julio, 2018, 12:02

En estos días, estoy estudiando algunos temas de matemáticas. Uno de esos temas es teoría de números, un campo inmenso, y con una rica historia. Desde su desarrollo algebraico, hasta la teoría analítica, es notable su avance. Leyendo "From Fermat to Minkowski, Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development", de Winfried Scharlau y Hans Opolka, me encuentro con un capítulo dedicado a un matemático que no esperaba encontrar en esta historia: Fourier.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) no fue un teórico de números. Es mas, él mismo no se describiría como matemático sino como físico. Su principal área de trabajo fue las matemáticas del calor. Hace unas semanas, leía una biografía de Fourier: su vida se destaca por haber vivido la revolución francesa y luego, servido a Napoleón. No siendo noble, tal vez si hubiera nacido en otra época, no hubiera podido desarrollar todas sus ideas. Escribió un libro, "Theorie analytique de la chaleur", publicado por primera vez en 1822, donde expone sus desarrollos de ecuaciones diferenciales parciales para explicar la dinámica observada del calor.

Me interesa comentar hoy un párrafo de ese libro, al inicio:

Las causas primeras nos son desconocidas: pero están sujetas a leyes simples y constantes, que pueden ser descubiertas por observación, el estudio de las cuales es el objeto de la filosofía natural... los más diversos fenómenos están sujetos a un pequeño número de leyes fundamentales que son reproducidas en todos los actos de la naturleza. Se reconoce que los mismos principios regulan todos los movimientos de las estrellas, su forma, las desigualdades de sus cursos, el equilibro y la oscilación de los mares, las vibraciones harmónicas del aire y de los cuerpos sonoros, la transmisión de la luz, acciones capilares, la ondulación de los fluidos, en fin los más complejos efectos  de todas las fuerzas naturales, han confirmado el pensamiento de Newton: quod tam paucis tam multa praestet geometría gloriatur.

Interesante declaración de Fourier sobre la ciencia y las matemáticas. Fue Newton el que comenzó a unificar los fenómenos naturales, explicando con los mismos fundamentos los movimientos terrestres y los celestiales. Como bien menciona Fourier, no conocemos las causas primeras: el origen de la gravedad o el por qué de la existencia de la luz, se nos escapan. Pero desde el tiempo de Fourier, hemos llegado a comprender las causas del calor, y tenemos una explicación de su conducta basada en la teoría atómica. No siempre las leyes son fundamentales, sino que la mayoría son derivadas, y gran parte de la ciencia es descubrir la base, el sistema subyacente a lo observado, y no solamente plantear leyes.

Post relacionados:

Series de Fourier

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia

Publicado el 8 de Julio, 2018, 13:25

La teoría de grupos siempre está presente, en tantos temas de las matemáticas como de otras ciencias. Partiendo de la simplicidad de lo que es un grupo abstracto, definible con pocos axiomas, se va construyendo un hermoso edificio, lleno de resultados sorprendentes. Mi primer contacto con grupos se remonta a más de 35 años atrás, y fue una experiencia reveladora de cómo las matemáticas se han desarrollado en los últimos siglos. Grupo es la estructura digamos prototípica de otras estructuras.

Ya Bourbaki (en sus notas de historia de las matemáticas) señalaba que alguien como Gauss, con todo su conocimiento matemático y apertura a nuevas ideas, no había llegado a formalizar el concepto de grupo, así que en varias demostraciones de sus "Disquisiciones Matemáticas" repetía el proceso de pasos. Hubo que esperar a desarrollos del siglo XIX para que surgiera la estructura de grupo como decantación de ideas. Por un lado, Galois se da cuenta de sus principales propiedades, y lo aplica en su teoría. Jordan, años más tarde, pule esas ideas. Dirichlet va explicando las ideas de Gauss y las depura en su libro de teoría de números. Dedekind y otros comienzan a usar estructuras, como grupo, anillo, ideal. El método algebraico triunfa en teoría algebraica de números, invariantes, y los "números" terminan incorporados en cuerpos, campos y sus extensiones.

Quiero en estas notas solamente escribir rápidamente algunos resultados, para ordenar mi estudio de esta estructura.

El concepto de grupo abstracto se basa en simples axiomas, ver Motivaciones para la Teoría de Grupos, Teoría de Grupos (1) Axiomas.

Hay que distinguir entre grupos infinitos y grupos finitos Ambos tienen una rica historia de desarrollo. Los grupos infinitos quedan históricamente a las ideas de Lie y sus transformaciones de espacios. Han calado hondo en física, y hasta guían de alguna forma los desarrollos teóricos que sustentan el modelo estándar de partículas elementales. Ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (1). El estudio de grupos finitos también ha sido fructífero. Algo de su historia más abajo y en siguientes posts.

Un elemento fundamental en grupos, es el estudio de sus subgrupos: estructuras que "viven" dentro del grupo principal. Es notable que, si bien hay subgrupos, los más destacados son los llamados grupos normales. Dado H un subgrupo normal de G, entonces se puede construir y hablar de G/H, un GRUPO cociente. Y el grupo G se puede reconstruir, de cierta forma, como composición de H y G/H. Esto abre todo un camino de estudio, similar a lo que pasa en teoría de números con los enteros: como un grupo se puede "dividir" en otros grupos.

El concepto de grupo simple (ver Simple Group) refiere a esas composiciones: un grupo simple no tiene subgrupos normales no triviales. Es como un "número primo". En el caso de grupos finitos (con cantidad finita de elementos) esto lleva a interesantes resultados, que llegan hasta este siglo XXI.

A los matemáticos les gusta clasificar lo que encuentran: ya los grupos son una abstracción, pero ¿se pueden clasificar? Una primera gran división ocurre entre grupos abelianos (donde su operación de base es conmutativa), y no abelianos. Luego ya vimos que hay grupos finitos e infinitos. Pero se ha visto también, que presentan estructuras. Desde el siglo XIX se ha emprendido la clasificación, y en el caso de grupos finitos y simples, se ha conseguido un resultado final, ver Classification of finite simple groups. La historia de este desarrollo es fascinante, y espero poder describirla brevemente en otras notas.

Ver también:

Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos
Teoría de Galois (1)

Algunas fuentes consultadas:

Symmetry and the Monster: One of the greatest quests of mathematics, Mark Ronan
Group Theory and Its Applications to Physical Problems, Morton Hamermesh

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Angel "Java" Lopez

Publicado el 3 de Julio, 2018, 14:11

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Angel "Java" Lopez

Por ajlopez, en: Ciencia