La teoría de grupos siempre está presente, en tantos temas de las matemáticas como de otras ciencias. Partiendo de la simplicidad de lo que es un grupo abstracto, definible con pocos axiomas, se va construyendo un hermoso edificio, lleno de resultados sorprendentes. Mi primer contacto con grupos se remonta a más de 35 años atrás, y fue una experiencia reveladora de cómo las matemáticas se han desarrollado en los últimos siglos. Grupo es la estructura digamos prototípica de otras estructuras.

Ya Bourbaki (en sus notas de historia de las matemáticas) señalaba que alguien como Gauss, con todo su conocimiento matemático y apertura a nuevas ideas, no había llegado a formalizar el concepto de grupo, así que en varias demostraciones de sus "Disquisiciones Matemáticas" repetía el proceso de pasos. Hubo que esperar a desarrollos del siglo XIX para que surgiera la estructura de grupo como decantación de ideas. Por un lado, Galois se da cuenta de sus principales propiedades, y lo aplica en su teoría. Jordan, años más tarde, pule esas ideas. Dirichlet va explicando las ideas de Gauss y las depura en su libro de teoría de números. Dedekind y otros comienzan a usar estructuras, como grupo, anillo, ideal. El método algebraico triunfa en teoría algebraica de números, invariantes, y los "números" terminan incorporados en cuerpos, campos y sus extensiones.

Quiero en estas notas solamente escribir rápidamente algunos resultados, para ordenar mi estudio de esta estructura.

El concepto de grupo abstracto se basa en simples axiomas, ver Motivaciones para la Teoría de Grupos, Teoría de Grupos (1) Axiomas.

Hay que distinguir entre grupos infinitos y grupos finitos Ambos tienen una rica historia de desarrollo. Los grupos infinitos quedan históricamente a las ideas de Lie y sus transformaciones de espacios. Han calado hondo en física, y hasta guían de alguna forma los desarrollos teóricos que sustentan el modelo estándar de partículas elementales. Ver Teoría de Grupos y Partículas Elementales (1). El estudio de grupos finitos también ha sido fructífero. Algo de su historia más abajo y en siguientes posts.

Un elemento fundamental en grupos, es el estudio de sus subgrupos: estructuras que "viven" dentro del grupo principal. Es notable que, si bien hay subgrupos, los más destacados son los llamados grupos normales. Dado H un subgrupo normal de G, entonces se puede construir y hablar de G/H, un GRUPO cociente. Y el grupo G se puede reconstruir, de cierta forma, como composición de H y G/H. Esto abre todo un camino de estudio, similar a lo que pasa en teoría de números con los enteros: como un grupo se puede "dividir" en otros grupos.

El concepto de grupo simple (ver Simple Group) refiere a esas composiciones: un grupo simple no tiene subgrupos normales no triviales. Es como un "número primo". En el caso de grupos finitos (con cantidad finita de elementos) esto lleva a interesantes resultados, que llegan hasta este siglo XXI.

A los matemáticos les gusta clasificar lo que encuentran: ya los grupos son una abstracción, pero ¿se pueden clasificar? Una primera gran división ocurre entre grupos abelianos (donde su operación de base es conmutativa), y no abelianos. Luego ya vimos que hay grupos finitos e infinitos. Pero se ha visto también, que presentan estructuras. Desde el siglo XIX se ha emprendido la clasificación, y en el caso de grupos finitos y simples, se ha conseguido un resultado final, ver Classification of finite simple groups. La historia de este desarrollo es fascinante, y espero poder describirla brevemente en otras notas.

Ver también:

Teoría de Grupos, Enlaces y Recursos
Teoría de Galois (1)

Algunas fuentes consultadas:

Symmetry and the Monster: One of the greatest quests of mathematics, Mark Ronan
Group Theory and Its Applications to Physical Problems, Morton Hamermesh

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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