Publicado el 26 de Agosto, 2018, 14:30
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Hoy voy a comenzar a comentar un libro de Joseph H. Silverman. No crea que termine en un solo post el comentario; es un libro muy interesante. Primero, como otros libros que comenté, es un libro para matemáticos. Pero también es bastante autocontenido, así con unos pocos preliminares se puede comenzar a leerlo y entenderlo. Es el "The Arithmetic of Elliptic Curves", estoy leyendo la segunda edición de Springer. Comienza presentando algunas curvas simples en X, Y. Leo:
¿ Cuál es el tipo de curva mas simple que presenta? Las aX + bY = c , las rectas. Se sabe que si a, b, c son racionales, estas curvas siempre tienen puntos (X, Y) con X, Y racionales. Cuando pasamos a curvas de segundo grado, no es evidente cuándo tenemos puntos racionales (aún cuando todos los coeficientes sean racionales). Desde hace tiempo se sabe clasificar esas curvas en distintos tipos, como elipses, hipérbolas, parábolas. Primero, como resultado de conceptos geométricos en los antiguos griegos, luego llegado Descartes y sus coordenadas, desde el punto de vista algebraico esa clasificación es posible. Debe ser uno de los gérmenes de la geometría algebraica. Un teorema que no conocía: el de Hasse-Minkowski. Sea un polinomio f(X, Y) cuadrático con coeficientes racionales. Entonces, tiene tiene puntos racionales SI Y SOLO SI tiene tiene ALGUNA solución racional para TODO módulo p, siendo p primo. Es común pasar a aritmética modular y probar con primos, por ejemplo, en el último teorema de Fermat. Notablemente, este teorema no se puede aplicar a polinomios valorizados sobre campos finitos. Lo importante ahora, es entender que esos puntos racionales sobre curvas algebraicas, serán la base para operaciones sobre las curvas elípticas, operaciones que forman grupo. El estudio de los puntos racionales de esas curvas ha sido altamente fructífero. Para llegar a esos resultados, Silverman primero presenta variedades afines y curvas algebraicas. Pero eso será tema de un próximo post. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 20 de Agosto, 2018, 12:18
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Hay algo en las matemáticas, que es hermoso: la relación que tienen diversos temas, la unidad que se va descubriendo en su estructura. Es notable cómo se ha ido progresando en este sentido, tan notable que es la principal pista para aceptar la existencia de un mundo matemático, distinto del físico o del mental. Sería increíble que todo esto se deba a la creación humana. Esa relación en los temas se ve en la historia de las curvas elípticas. Hoy quiero comentar brevemente el libro: Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke de Ranjan Roy Tiene pocas menciones de curvas elípticas, pero es interesante por su desarrollo histórico de los temas que trata. Comienza con las formas modulares en su estado en el siglo XIX. Primero presenta el grupo modular, estudiado por Lagrange es su estudio de las formas cuadráticas (cita un trabajo de 1775). El estudio de las formas cuadráticas (expresiones en x, y, con grado 2 en sus términos) es la semilla de multitud de desarrollos que llegan a los tiempos actuales. Lagrange, por ejemplo, estudió qué enteros se podían obtener de una forma cuadrática cuando sus variables adoptaban valores enteros, y mostró la equivalencia entre formas cuadráticas, ante algunas transformaciones. Aparece el grupo modular y sus generadores S y T (notación introducida no por Lagrange sino por Mordell y Rademacher, ya en el siglo XX). Desde comienzo, el libro se despacha con la historia de todo lo que derivó, pasando por Gauss (con resultados que no publicó), Jacobi, Abel, Einsenstein, Dedekind (su paper sobre formas modulares, y las sumas de Dedekind), algunos resultados tempranos de Euler (como su producto), Klein, Hermite, Hurwitz, Hecke y más. Es justamente Hurwitz el que muestra que las curvas elípticas (que aparecen en la historia LUEGO de las integrales elípticas, y las funciones elípticas (éstas tan estudiadas, por ejemplo, por Abel)), son PARAMETRIZABLES por dos funciones. ¿Qué significa esto? Así como los puntos de una circunferencia (x, y) se pueden expresar por dos funciones periódicos de UN parámetro (sen(t), cos(t)), lo mismo pasa con las curvas elípticas, con dos funciones, esta vez, en vez de ser funciones circulares como el seno y el coseno, son funciones elípticas, CON DOBLE PERIODO (el tema de este doble periodo aparece en muchos de los resultados, como en el grupo modular). Hurwitz publica este resultado en un conocido "paper", leo en 12.1:
Vean cómo sus ideas llegan hasta Mordell y Serre, en el siglo XX. Leo algo sobre Mordell (que tan importante fue en el camino de la demostración del Ultimo Teorema de Fermat), leo en 13.1:
Espero que esto ayude a empezar a ver las múltiples relaciones entre distintas partes de las matemáticas, siendo curvas elípticas una de las puntas del iceberg que sobresale. Una nota personal: ver que ese factor 12 debe estar relacionado con el 24 de alguna conjetura de Ramanujan y el "lattice" de Leech y grupos esporádicos. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 13 de Agosto, 2018, 11:14
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Resultants, Resolvents and the Computation of Galois Groups The Abel Prize Laurate 2018: Robert P. Langlands Curious Quaternions Ubiquituos Octonions Brun's Theorem Sieve Theory A polynomial upper bound on Reidemeister moves An Upper Bound on Reidemeister Moves Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 5 de Agosto, 2018, 13:08
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Nuevo mes, tiempo de escribir las resoluciones mensuales. Antes, una revisión de las del mes anterior: - Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente] También escribí algo más sobre matemáticas: La Matemática es Diferente, por Ian Steward Mis resoluciones del nuevo mes: - Escribir sobre Historia de las Matemáticas Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Agosto, 2018, 21:01
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Sigo leyendo libros de Ian Stewart, esta vez, "Significant Figures, The Lives and Work of Great Mathematicians". Me llama la atención su comparación de las matemáticas con otras ciencias en su historia:
Hay ciencias cuyos primeros resultados perduran desde la antiguedad, como la estática desde Arquímedes. Pero otras han ido formando modelos explicativos de la realidad, que luego se cambian por otros, como ahora tenemos las ideas de Einstein que reemplazaron a las de Newton. Pero las matemáticas formas modelos que al no tener que corresponder con una realidad, pueden ser formulados y extendidos sin desecharlos. La geometría de Euclides sigue siendo tan verdadera en su base hace 2000 años como ahora, aun cuando sabemos que no es la geometría a aplicar al mundo físico. Tiene ese encanto la matemática: es el "gran juego" que vamos armando a lo largo de los siglos. Habrá que ver cuanto de esta "creación humana" es creación propia o es descubrimiento de un mundo matemático que existe más allá de nuestra experiencia. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |