Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 20 de Agosto, 2018, 12:18

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Hay algo en las matemáticas, que es hermoso: la relación que tienen diversos temas, la unidad que se va descubriendo en su estructura. Es notable cómo se ha ido progresando en este sentido, tan notable que es la principal pista para aceptar la existencia de un mundo matemático, distinto del físico o del mental. Sería increíble que todo esto se deba a la creación humana.

Esa relación en los temas se ve en la historia de las curvas elípticas. Hoy quiero comentar brevemente el libro:

Elliptic and Modular Functions from Gauss to Dedekind to Hecke de Ranjan Roy

Tiene pocas menciones de curvas elípticas, pero es interesante por su desarrollo histórico de los temas que trata. Comienza con las formas modulares en su estado en el siglo XIX. Primero presenta el grupo modular, estudiado por Lagrange es su estudio de las formas cuadráticas (cita un trabajo de 1775). El estudio de las formas cuadráticas (expresiones en x, y, con grado 2 en sus términos) es la semilla de multitud de desarrollos que llegan a los tiempos actuales. Lagrange, por ejemplo, estudió qué enteros se podían obtener de una forma cuadrática cuando sus variables adoptaban valores enteros, y mostró la equivalencia entre formas cuadráticas, ante algunas transformaciones. Aparece el grupo modular y sus generadores S y T (notación introducida no por Lagrange sino por Mordell y Rademacher, ya en el siglo XX). Desde comienzo, el libro se despacha con la historia de todo lo que derivó, pasando por Gauss (con resultados que no publicó), Jacobi, Abel, Einsenstein, Dedekind (su paper sobre formas modulares, y las sumas de Dedekind), algunos resultados tempranos de Euler (como su producto), Klein, Hermite, Hurwitz, Hecke y más.

Es justamente Hurwitz el que muestra que las curvas elípticas (que aparecen en la historia LUEGO de las integrales elípticas, y las funciones elípticas (éstas tan estudiadas, por ejemplo, por Abel)), son PARAMETRIZABLES por dos funciones. ¿Qué significa esto? Así como los puntos de una circunferencia (x, y) se pueden expresar por dos funciones periódicos de UN parámetro (sen(t), cos(t)), lo mismo pasa con las curvas elípticas, con dos funciones, esta vez, en vez de ser funciones circulares como el seno y el coseno, son funciones elípticas, CON DOBLE PERIODO (el tema de este doble periodo aparece en muchos de los resultados, como en el grupo modular).

Hurwitz publica este resultado en un conocido "paper", leo en 12.1:

Hurwtiz"s 1881 paper and its 1904 update were regarded during the early twentieth century as providing fundamental foundations for the theory of modular functions. In his 1917 paper on Ramanujan"s conjectures, Mordell wrote in a footnote, concerning Hurwitz"s original 1881 paper, "For an elementary introduction to the modular functions, see Hurwitz . . . ." Again, perhaps because of J. P. Serre"s 1957 lecture on modular forms,2 employing several key ideas from Hurwitz"s 1904 paper, Hurwitz"s proofs of basic results on modular forms have become well known and commonly used. For these reasons, we discuss Hurwitz"s paper in its entirety and provide a translation into English as an appendix.

Vean cómo sus ideas llegan hasta Mordell y Serre, en el siglo XX. Leo algo sobre Mordell (que tan importante fue en el camino de la demostración del Ultimo Teorema de Fermat), leo en 13.1:

Louis J. Mordell (1888–1972) was born in Philadelphia, Pennsylvania, but after secondary
school, he traveled to Cambridge, England, to study mathematics. He took the Mathematical Tripos examinations and went into research in number theory. In 1917, he published a paper on the representations of numbers as sums of an even number of squares in which he utilized the theory of modular forms. According to J. W. S. Cassels, "Mordell was, apparently, the first to treat the representation of integers as the sum of a fixed number n of squares by using the finite dimensionality of the space of modular forms of given dimensions to establish identities thereby unifying the existing mass of results for individual values of n." This paper established Mordell as an expert in elliptic modular functions in Britain. When Hardy drew his attention to Ramanujan"s conjectures, Mordell quickly found the solution within Hurwitz"s work on the multiplier equation. Textbooks generally concentrate on Mordell"s work on the Euler product of delta(ω1, ω2), and it is not usually mentioned that Mordell also considered delta 12/a  (ω1, ω2), where a is a divisor of 12. Mordell evidently did not attempt to generalize these results to other modular forms, and this was done almost two decades later by Hecke, then unaware of the earlier work on this topic of Ramanujan and Mordell.

Espero que esto ayude a empezar a ver las múltiples relaciones entre distintas partes de las matemáticas, siendo curvas elípticas una de las puntas del iceberg que sobresale.

Una nota personal: ver que ese factor 12 debe estar relacionado con el 24 de alguna conjetura de Ramanujan y el "lattice" de Leech y grupos esporádicos.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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