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Hoy voy a comenzar a comentar un libro de Joseph H. Silverman. No crea que termine en un solo post el comentario; es un libro muy interesante. Primero, como otros libros que comenté, es un libro para matemáticos. Pero también es bastante autocontenido, así con unos pocos preliminares se puede comenzar a leerlo y entenderlo. Es el "The Arithmetic of Elliptic Curves", estoy leyendo la segunda edición de Springer.

Comienza presentando algunas curvas simples en X, Y. Leo:

The study of Diophantine equations, that is, the solution of polynomial equations in integers or rational numbers, has a history stretching back to ancient Greece and beyond. The term Diophantine geometry is of more recent origin and refers to the study of Diophantine equations through a combination of techniques from algebraic number theory and algebraic geometry. On the one hand, the problem of finding integer and rational solutions to polynomial equations calls into play the tools of algebraic number theory that describe the rings and fields wherein those solutions lie. On the other hand, such a system of polynomial equations describes an algebraic variety, which is a geometric object. It is the interplay between these two points of view that is the subject of Diophantine geometry.

¿ Cuál es el tipo de curva mas simple que presenta? Las aX + bY = c , las rectas. Se sabe que si a, b, c son racionales, estas curvas siempre tienen puntos (X, Y) con X, Y racionales. Cuando pasamos a curvas de segundo grado, no es evidente cuándo tenemos puntos racionales (aún cuando todos los coeficientes sean racionales). Desde hace tiempo se sabe clasificar esas curvas en distintos tipos, como elipses, hipérbolas, parábolas. Primero, como resultado de conceptos geométricos en los antiguos griegos, luego llegado Descartes y sus coordenadas, desde el punto de vista algebraico esa clasificación es posible. Debe ser uno de los gérmenes de la geometría algebraica.

Un teorema que no conocía: el de Hasse-Minkowski. Sea un polinomio f(X, Y) cuadrático con coeficientes racionales. Entonces, tiene tiene puntos racionales SI Y SOLO SI tiene tiene ALGUNA solución racional para TODO  módulo p, siendo p primo. Es común pasar a aritmética modular y probar con primos, por ejemplo, en el último teorema de Fermat. Notablemente, este teorema no se puede aplicar a polinomios valorizados sobre campos finitos.

Lo importante ahora, es entender que esos puntos racionales sobre curvas algebraicas, serán la base para operaciones sobre las curvas elípticas, operaciones que forman grupo. El estudio de los puntos racionales de esas curvas ha sido altamente fructífero.

Para llegar a esos resultados, Silverman primero presenta variedades afines y curvas algebraicas. Pero eso será tema de un próximo post.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
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