Publicado el 16 de Septiembre, 2018, 14:42
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Las matemáticas son fascinantes, y van más allá de lo que mucha gente piensa. No son solamente hacer números, sino manejar conceptos, ideas, teorías completas, que van desarrollándose en la historia. Pero lo notable es cómo alguna de esas ideas van creciendo y se van descubriendo relaciones inesperadas entre ellas. En los primeros días de enero de 1967, Robert Langlands se encuentra por coincidencia con André Weil, en un pasillo del Institute for Defense Analysis de Princeton. Ambos llegaban para escuchar una conferencia de Shiing-Shen Chern. En ese momento, Weil estaba en sus sesenta años, prominente miembro del grupo Bourbaki, matemático consagrado y creativo, uno de los individuos más influyentes del siglo XX, especialmente en geometría algebraica y teoría de números. Por otro lado, Langlands era treinta años más joven, un matemático prometedor, pero todavía en sus primeros años de carrera. No sabiendo cómo iniciar una conversación, Langlands le comenta alguna de sus propias ideas sobre conexiones entre las formas automorfas y la teoría de números. Weil le sugiere entonces que le envíe por escrito esas ideas. Langlands pensó que era una forma amable de sacarse de encima a un joven inoportuno, pero igual plasma por escrito sus pensamientos, y días después le envía una carta, comenzando:
Weil no respondió a la carta, pero la tipeó, y envió esa transcripción a otros matemáticos. El contenido de la carta comenzó a conocerse como "las conjeguras de Langlands". Con el tiempo, esas conjeturas dieron frutos inesperados: de alguna forma participaron del camino a la demostración del Ultimo Teorema de Fermat. Pero fueron más allá. Dieron lugar al llamado "programa de Langlands" que predice la existencia de una red de conexiones entre las formas automórficas y los grupos de Galois. Ese programa está guiando investigaciones modernas, para probar y mostrar esas conexiones. En este año, 2018, Langlands fue galardonado por el premio Abel. Sería largo explicar el programa, aún sus ideas base, pero debo confesar que es fascinante de explorar. Con conexiones desde la teoría de números hasta las curvas elípticas y más, nos da una vívida impresión de la unidad de las matemáticas y los resultados no evidentes que se están manejando en estos tiempos. Lecturas adicionales The Abel Prize Laurate 2018 Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 8 de Septiembre, 2018, 15:05
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Ya estamos más cerca del fin de año. Comienza un nuevo mes, primero revisión de las resoluciones del mes anterior: - Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente] Mis resoluciones para el nuevo mes; - Escribir sobre Historia de las Matemáticas Espero esta vez poder escribir sobre historia de las matemáticas y de la ciencia; tengo algunos temas pensados, pero hay que poner manos a la obra. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 2 de Septiembre, 2018, 16:03
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Elliptic Curves, Modular Forms and the Langlands Program Elementary Introduction to the Langlands Program Compositionality Journal Genus Genus of a Curve Falting's Theorem Mordell Conjecture Tate Conjecture Nos leemos! Angel "Java" Lopez |
Publicado el 1 de Septiembre, 2018, 15:27
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Sigo leyendo y comentando "The Arithmetic of Elliptic Curves" de Silverman. En el anterior post enuncié el teorema de Hasse-Minkowski, Tendría que corregir su enunciado: no trata sobre módulo p, sino sobre los campos p-ádicos Qp. Leo:
Es interesante notar que la reciprocidad cuadrática surge asociada a campos finitos. De alguna forma, las cuadráticas están bien entedidas, gracias a resultados como los de arriba. Y cuando se quiere ir más allá, ahí aparecen en primer lugar las curvas elípticas:
Este es un punto a destacar: el genus. Por un lado, podemos leer una definición orientada a geomtría algenbraica: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Genus_of_a_curve Pero es más interesante notar que genus tiene otros significados: https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics) Para una curva algebraica, se relaciona con la superficie que forma EN LOS COMPLEJOS. Y como en las superficies reales,, el genus está relacionado con la cantidad de "agujeros" que presenta. Mientras que las cuadráticas tienen genus 0, las elípticas son las primeras con genus 1. Al no ser "tan regulares" cono las de genus 0, tienen otras propiedades. Mordell debe haber sido iuno de los primeros que tratar de clasificar esas propiedades. Ver la conjetura de Mordell: http://mathworld.wolfram.com/MordellConjecture.html probada por Faltings: https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem Como se llegó con esto a la solución del Ultimo Teorema de Fermat, es cuestión de otros posts. Nos leemos! Angel "Java" Lopez |