Angel "Java" Lopez en Blog

Septiembre del 2018


Publicado el 28 de Septiembre, 2018, 13:30

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Más artículos sobre la prueba presentada por Michael Atiyah. Como comentaba en el anterior post, el punto principal es las cualidades de la función T, que o no parecen cumplirse, o no parecen probadas. No parece que la discusión pase por la adecuación de la función T con la constante de estructura fina, que es el resultado principal del "paper" de enero, pero que parece accesorio a la prueba de RH de este septiembre.

The Ramanujan Summation: 1 + 2 + 3 + ⋯ + ∞ = -1/12?
https://medium.com/@marktdodds/the-ramanujan-summation-1-2-3-1-12-a8cc23dea793

Did a mathematician really solve a million-dollar math problem?
https://www.usatoday.com/story/news/nation-now/2018/09/25/riemann-hypothesis-mathematician-said-he-solved-1-m-math-problem/1418487002/

Reading Into Atiyah"s Proof
https://rjlipton.wordpress.com/2018/09/26/reading-into-atiyahs-proof/

Atiyah Riemann Hypothesis proof: final thoughts
https://aperiodical.com/2018/09/atiyah-riemann-hypothesis-proof-final-thoughts/

Retired mathematician rocks math world with claim that he's solved $1 million problem
https://www.nbcnews.com/mach/science/retired-mathematician-rocks-math-world-claim-he-s-solved-1-ncna914046

Mathematician claims to have solved 160-year-old Reimann hypothesis
https://www.independent.co.uk/news/uk/home-news/riemann-hypothesis-uk-mathematics-solved-claim-sir-michael-atiyah-a8557656.html

Mathematician may have cracked $1 million riddle
https://nypost.com/2018/09/25/mathematician-may-have-cracked-1-million-riddle/

Mathematicians Skeptical of Supposed Million-Dollar Proof
https://gizmodo.com/mathematicians-skeptical-of-supposed-million-dollar-pro-1829301425

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 25 de Septiembre, 2018, 12:12

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Más sobre el caso Atiyah Hipótesis de Riemann. El punto débil parece la función T (de Todd), si su aplicación en la prueba DEPENDE de su relación con la constant de estructura fina, entonces es bastante dudosa. Si el tema de la constant de estructura fina es accesorio, tal vez haya algo interesante. Veremos.

Explainer: Has Michael Atiyah conquered the Everest of mathematics?
https://www.irishtimes.com/news/world/explainer-has-michael-atiyah-conquered-the-everest-of-mathematics-1.3639725

Top Mathematician Says He's Solved a 160-Year-Old Maths Problem Worth $1 Million
https://www.sciencealert.com/top-mathematician-sir-michael-atiyah-solved-a-160-year-old-1-million-maths-problem-riemann-hypothesis

Skepticism surrounds renowned mathematician"s attempted proof of 160-year-old hypothesis
https://www.sciencemag.org/news/2018/09/skepticism-surrounds-renowned-mathematician-s-attempted-proof-160-year-old-hypothesis

Atiyah's Lecture on the Riemann Hypothesis
https://www.reddit.com/r/math/comments/9igc4d/atiyahs_lecture_on_the_riemann_hypothesis/

Riemann hypothesis, the fine structure constant, and the Todd function
https://www.johndcook.com/blog/2018/09/24/riemann-hypothesis-the-fine-structure-constant-and-the-todd-function/
https://news.ycombinator.com/item?id=18059880

Discussion about Atiyah's Paper
https://news.ycombinator.com/item?id=18054890

Proof of Riemann hypothesis, Generalized Riemann hypothesis and Ramanujan τ-Dirichlet series hypothesis
https://arxiv.org/abs/1703.03827

What is the definition of the function T used in Atiyah's attempted proof of the Riemann Hypothesis?
https://mathoverflow.net/questions/311280/what-is-the-definition-of-the-function-t-used-in-atiyahs-attempted-proof-of-the

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 24 de Septiembre, 2018, 18:13

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6th HLF – Lecture: Sir Michael Francis Atiyah
https://www.youtube.com/watch?v=jXugkzFW5qY

The Fine Structure Constant, Michael Atiyah
https://drive.google.com/file/d/1WPsVhtBQmdgQl25_evlGQ1mmTQE0Ww4a/view

The Riemann Hypothesis, Michael Atiyah
https://drive.google.com/file/d/17NBICP6OcUSucrXKNWvzLmrQpfUrEKuY/view

A Mathematician May Have Just Solved a A 160-Year-Old, $1 Million Problem
https://motherboard.vice.com/en_us/article/d3j3kk/a-mathematician-may-have-just-solved-a-a-160-year-old-dollar1-million-problem

Top mathematician says he solved the 'single most important open problem' in math after 160 years
https://www.thisisinsider.com/riemann-hypothesis-solved-by-sir-michael-atiyah-after-160-years-he-says-2018-9

Riemann hypothesis likely remains unsolved despite claimed proof
https://www.newscientist.com/article/2180504-riemann-hypothesis-likely-remains-unsolved-despite-claimed-proof/

The Riemann Hypothesis and Atiyah
https://twitter.com/johncarlosbaez/status/1043975994246291456

Has the Riemann hypothesis been 'solved'? Who is Michael Atiyah? Why is it so important?
https://www.standard.co.uk/news/uk/has-the-riemann-hypothesis-been-solved-who-is-michael-atiyah-a3944486.html

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Angel "Java" Lopez
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Publicado el 23 de Septiembre, 2018, 18:50

La hipótesis de Riemann podría considerarse como el problema del siglo. Es uno de los problemas matemáticos pendientes de solución más famosos. Mientras que el Ultimo Teorema de Fermat y la Conjetura de Poincare fueron probados. la hipótesis de Riemman se resiste todavía, luego de más de siglo y medio de haber sido formulada.

Cuéntase que el matemático Hardy, cuando tenia que cruzar el Atlántico, enviama un telegrama al otro declarando que tenia una prueba de la hipótesis. De esta forma, esperaba que ninguna divinidad dejaría que le pasara algo en el viaje.

Hilbert lo propuso como uno de los problemas de su lista de 1900. Es uno de los pocos que pasado el siglo veinte todavía no tiene solución. Hilbert decía que si se durmiera tres mil años y se despertara, lo primero que preguntaría es si se había resuelto el problema. Del siglo XX al XXI pasó a ser uno de los problemas del milenio, según el instituto de matemáticas Clay.

Yo estoy tratando de explicar la hipótesis en mi serie La Hipótesis de Riemman. Ya a fines del siglo XIX se vió que no era necesaria su verdad para probar el teorema de los números primos, (ver teorema de Hadamard y de la Vallée-Poussin) pero se espera que si es verdad, la distribución de los primos sea la esperada.

Ver también:

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem 
https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis#Function_fields_and_zeta_functions_of_varieties_over_finite_fields notablemente se demostró la hipótesis para otros campos, y hay varias generalizaciones

En estos días el mundo matemático está esperando la conferencia de Michael Atiyah, medallista Field, anunciada para mañana lunes 24 de septiembre. Ver

Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis
https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/

News regarding ABC conjecture and Riemann Hypothesis
https://www.johndcook.com/blog/2018/09/20/abc-conjecture-riemann-hypothesis/

Michael Atiyah claims proof of Riemann Hypothesis
https://aperiodical.com/2018/09/michael-atiyah-claims-proof-of-riemann-hypothesis/

Hay algún escepticismo sobre la validez de la prueba, que no fue publicada todavía. No se espera que Atiyah haya encontrado el éxito donde otros muchos matemáticos fracasaron. Pero esperemos a maña. Me he referido a Atiyah varias veces en este blog, por ejemplo en relación a un teorema de Hilbert. Ver su entrevista en

https://www.lavanguardia.com/lacontra/20111228/54241694041/sir-michael-atiyah-el-camino-mas-corto-para-crear-es-un-largo-rodeo.html

Pero hay un dato interesante en las noticias publicadas sobre el tema. En Aperiodical leo:

Atiyah will speak at the HLF on Monday at 9am CEST, and his abstract, available to read through the HLF conference app, claims he will present "a simple proof using a radically new approach […] based on the work of Von Neumann (1936), Hirzebruch (1954) and Dirac (1928)."

Hirzebruch es conocido por el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch, luego opacado en parte por el trabajo novedoso de Gothrendieck, que lo extendió más allá del resultado original. Ver

Friedrich Hirzebruch
https://en.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Hirzebruch

Atiyah trabajó con Hirzebruch, en sus años jóvenes, y será interesante ver qué camino aprovechó de los descubrimientos de su maestro para llegar a su proclamada prueba. Pero en el párrafo que mencioné arriba, mencionan a Von Neumann y a Dirac, dos "habitué" de este blog. Eso da una pista, y acá apuesto que la prueba tiene que ver con:

MATRICES HERMITIANAS

usadas tanto en la mecánica cuántica que tanto Von Neumann como Dirac ayudaron a desarrollar. No es un camino nuevo en los intentos de demostración de este problema. La idea es que la hipótesis afirma que la función zeta de Riemman

z(x + iy) 

tiene TODOS sus ceros no triviales en x = 1/2. Pero eso equivale a que, haciendo cambio de variables (rotación 90 grados y desplazamiento 1/2), todas los ceros no triviales de otra función:

h(y + ix - i/2)

SON REALES. El camino de las matrices hermitianas, mostraría que existe una matriz "infinita" M, que sea hermitiana (igual a su transpuesta conjugada), tal que el determinante de M - wI, o sea su polinomio característico, sea igual a la función h de arriba.

Se sabe que las matrices hermitianas solo tienen autovalores (los ceros de su polinomio característico) reales. Con eso se completaría la demostración. Claro que una cosa es decirlo, y otra es encontrar esa matriz M infinita que cumpla con todo eso. Pero bien podría Atiyah haber encontrado un camino nuevo en este forma de solucionar el problema: una forma de "armar" esa matriz para obtener la función h, transformada de la zeta. Pero lo mío es solo un albur, veremos si es así.

Vivimos tiempos interesantes.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 22 de Septiembre, 2018, 17:47

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Hay novedades sobre la Hipótesis de Riemman

Legendre's Theorem, Lagrange's Descent
https://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf

Symmetry of second derivatives
https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives

Patterns That Eventually Fail
https://johncarlosbaez.wordpress.com/2018/09/20/patterns-that-eventually-fail/

News regarding ABC conjecture and Riemann Hypothesis
https://www.johndcook.com/blog/2018/09/20/abc-conjecture-riemann-hypothesis/

Hirzebruch–Riemann–Roch theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Hirzebruch%E2%80%93Riemann%E2%80%93Roch_theorem

Friedrich Hirzebruch
https://en.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Hirzebruch

Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis
https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/

Michael Atiyah claims proof of Riemann Hypothesis
https://aperiodical.com/2018/09/michael-atiyah-claims-proof-of-riemann-hypothesis/

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Publicado el 16 de Septiembre, 2018, 14:42

Las matemáticas son fascinantes, y van más allá de lo que mucha gente piensa. No son solamente hacer números, sino manejar conceptos, ideas, teorías completas, que van desarrollándose en la historia. Pero lo notable es cómo alguna de esas ideas van creciendo y se van descubriendo relaciones inesperadas entre ellas.

En los primeros días de enero de 1967, Robert Langlands se encuentra por coincidencia con André Weil,  en un pasillo del Institute for Defense Analysis de Princeton. Ambos llegaban para escuchar una conferencia de Shiing-Shen Chern. En ese momento, Weil estaba en sus sesenta años, prominente miembro del grupo Bourbaki, matemático consagrado y creativo, uno de los individuos más influyentes del siglo XX, especialmente en geometría algebraica y teoría de números. Por otro lado, Langlands era treinta años más joven, un matemático prometedor, pero todavía en sus primeros años de carrera. No sabiendo cómo iniciar una conversación, Langlands le comenta alguna de sus propias ideas sobre conexiones entre las formas automorfas y la teoría de números. Weil le sugiere entonces que le envíe por escrito esas ideas. Langlands pensó que era una forma amable de sacarse de encima a un joven inoportuno, pero igual plasma por escrito sus pensamientos, y días después le envía una carta, comenzando:

"En respuesta a su invitación ... escribí esta carta. Luego de haberla escrito me doy cuenta que difícilmente tenga una afirmación de la que esté seguro. Si desea leerla como pura especulación, apreciaría su gesto; si no, estoy seguro que tiene un bote de basura cerca".

Weil no respondió a la carta, pero la tipeó, y envió esa transcripción a otros matemáticos. El contenido de la carta comenzó a conocerse como "las conjeguras de Langlands".

Con el tiempo, esas conjeturas dieron frutos inesperados: de alguna forma participaron del camino a la demostración del Ultimo Teorema de Fermat. Pero fueron más allá. Dieron lugar al llamado "programa de Langlands" que predice la existencia de una red de conexiones entre las formas automórficas y los grupos de Galois. Ese programa está guiando investigaciones modernas, para probar y mostrar esas conexiones. En este año, 2018, Langlands fue galardonado por el premio Abel.

Sería largo explicar el programa, aún sus ideas base, pero debo confesar que es fascinante de explorar. Con conexiones desde la teoría de números hasta las curvas elípticas y más, nos da una vívida impresión de la unidad de las matemáticas y los resultados no evidentes que se están manejando en estos tiempos.

Lecturas adicionales

The Abel Prize Laurate 2018
A glimpse of the Laureate’s work
17 handwritten pages that shaped a whole area of mathematical research
From quadratic reciprocity to Langlands’ program
Letter to André Weil

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 8 de Septiembre, 2018, 15:05

Ya estamos más cerca del fin de año. Comienza un nuevo mes, primero revisión de las resoluciones del mes anterior:

- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Matemáticas [completo] ver post ver post ver post
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Mis resoluciones para el nuevo mes;

- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra

Espero esta vez poder escribir sobre historia de las matemáticas y de la ciencia; tengo algunos temas pensados, pero hay que poner manos a la obra.

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Publicado el 2 de Septiembre, 2018, 16:03

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Elliptic Curves, Modular Forms and the Langlands Program
http://ww1.math.nus.edu.sg/rsch-staffprofile/2013-GanWeeTeck.pdf

Elementary Introduction to the Langlands Program
https://www.msri.org/system/cms/files/270/files/original/Frenkel-NHK-3.pdf

Compositionality Journal
http://www.compositionality-journal.org/

Genus
https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)

Genus of a Curve
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Genus_of_a_curve

Falting's Theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem

Mordell Conjecture
http://mathworld.wolfram.com/MordellConjecture.html

Tate Conjecture
https://en.wikipedia.org/wiki/Tate_conjecture

Nos leemos!

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Publicado el 1 de Septiembre, 2018, 15:27

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Sigo leyendo y comentando "The Arithmetic of Elliptic Curves" de Silverman. En el anterior post enuncié el teorema de Hasse-Minkowski, Tendría que corregir su enunciado: no trata sobre módulo p, sino sobre los campos p-ádicos Qp. Leo:

In other words, a quadratic polynomial has a solution in Q if and only if it has a solution in every completion of Q. Hensel’s lemma says that checking for solutions in Qp is more or less the same as checking for solutions in the finite field Z/pZ, and this is turn is easily accomplished using quadratic reciprocity. We summarize the steps that go into the Diophantine analysis of quadratic equations.

(1) Analyze the equations over finite fields [quadratic reciprocity].
(2) Use this information to study the equations over complete local fields Qp [Hensel’s lemma]. (We must also analyze them over R.)
(3) Piece together the local information to obtain results for the global field Q [Hasse principle].

Es interesante notar que la reciprocidad cuadrática surge asociada a campos finitos. De alguna forma, las cuadráticas están bien entedidas, gracias a resultados como los de arriba. Y cuando se quiere ir más allá, ahí aparecen en primer lugar las curvas elípticas:

Where does the geometry appear? Linear and quadratic equations in two variables define curves of genus zero. The above discussion says that we have a fairly good understanding of the arithmetic of such curves. The next simplest case, namely the arithmetic properties of curves of genus one (which are given by cubic equations in two variables), is our object of study in this book. The arithmetic of these so-called elliptic curves already presents complexities on which much current research is centered. Further, they provide a standard testing ground for conjectures and techniques that can then be fruitfully applied to the study of curves of higher genus and (abelian) varieties of higher dimension.

Este es un punto a destacar: el genus. Por un lado, podemos leer una definición orientada a geomtría algenbraica:

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Genus_of_a_curve

Pero es más interesante notar que genus tiene otros significados:

https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)

Para una curva algebraica, se relaciona con la superficie que forma EN LOS COMPLEJOS. Y como en las superficies reales,, el genus está relacionado con la cantidad de "agujeros" que presenta. Mientras que las cuadráticas tienen genus 0, las elípticas son las primeras con genus 1. Al no ser "tan regulares" cono las de genus 0, tienen otras propiedades. Mordell debe haber sido iuno de los primeros que tratar de clasificar esas propiedades. Ver la conjetura de Mordell:

http://mathworld.wolfram.com/MordellConjecture.html

probada por Faltings:

https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem

Como se llegó con esto a la solución del Ultimo Teorema de Fermat, es cuestión de otros posts.

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