Angel "Java" Lopez en Blog

Septiembre del 2018


Publicado el 16 de Septiembre, 2018, 14:42

Las matemáticas son fascinantes, y van más allá de lo que mucha gente piensa. No son solamente hacer números, sino manejar conceptos, ideas, teorías completas, que van desarrollándose en la historia. Pero lo notable es cómo alguna de esas ideas van creciendo y se van descubriendo relaciones inesperadas entre ellas.

En los primeros días de enero de 1967, Robert Langlands se encuentra por coincidencia con André Weil,  en un pasillo del Institute for Defense Analysis de Princeton. Ambos llegaban para escuchar una conferencia de Shiing-Shen Chern. En ese momento, Weil estaba en sus sesenta años, prominente miembro del grupo Bourbaki, matemático consagrado y creativo, uno de los individuos más influyentes del siglo XX, especialmente en geometría algebraica y teoría de números. Por otro lado, Langlands era treinta años más joven, un matemático prometedor, pero todavía en sus primeros años de carrera. No sabiendo cómo iniciar una conversación, Langlands le comenta alguna de sus propias ideas sobre conexiones entre las formas automorfas y la teoría de números. Weil le sugiere entonces que le envíe por escrito esas ideas. Langlands pensó que era una forma amable de sacarse de encima a un joven inoportuno, pero igual plasma por escrito sus pensamientos, y días después le envía una carta, comenzando:

"En respuesta a su invitación ... escribí esta carta. Luego de haberla escrito me doy cuenta que difícilmente tenga una afirmación de la que esté seguro. Si desea leerla como pura especulación, apreciaría su gesto; si no, estoy seguro que tiene un bote de basura cerca".

Weil no respondió a la carta, pero la tipeó, y envió esa transcripción a otros matemáticos. El contenido de la carta comenzó a conocerse como "las conjeguras de Langlands".

Con el tiempo, esas conjeturas dieron frutos inesperados: de alguna forma participaron del camino a la demostración del Ultimo Teorema de Fermat. Pero fueron más allá. Dieron lugar al llamado "programa de Langlands" que predice la existencia de una red de conexiones entre las formas automórficas y los grupos de Galois. Ese programa está guiando investigaciones modernas, para probar y mostrar esas conexiones. En este año, 2018, Langlands fue galardonado por el premio Abel.

Sería largo explicar el programa, aún sus ideas base, pero debo confesar que es fascinante de explorar. Con conexiones desde la teoría de números hasta las curvas elípticas y más, nos da una vívida impresión de la unidad de las matemáticas y los resultados no evidentes que se están manejando en estos tiempos.

Lecturas adicionales

The Abel Prize Laurate 2018
A glimpse of the Laureate’s work
17 handwritten pages that shaped a whole area of mathematical research
From quadratic reciprocity to Langlands’ program
Letter to André Weil

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 8 de Septiembre, 2018, 15:05

Ya estamos más cerca del fin de año. Comienza un nuevo mes, primero revisión de las resoluciones del mes anterior:

- Escribir sobre Historia de las Matemáticas [pendiente]
- Escribir sobre Matemáticas [completo] ver post ver post ver post
- Escribir sobre Historia de la Ciencia [pendiente]
- Estudiar blues en guitarra [completo]

Mis resoluciones para el nuevo mes;

- Escribir sobre Historia de las Matemáticas
- Escribir sobre Matemáticas
- Escribir sobre Historia de la Ciencia
- Estudiar blues en guitarra

Espero esta vez poder escribir sobre historia de las matemáticas y de la ciencia; tengo algunos temas pensados, pero hay que poner manos a la obra.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Por ajlopez, en: General

Publicado el 2 de Septiembre, 2018, 16:03

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Elliptic Curves, Modular Forms and the Langlands Program
http://ww1.math.nus.edu.sg/rsch-staffprofile/2013-GanWeeTeck.pdf

Elementary Introduction to the Langlands Program
https://www.msri.org/system/cms/files/270/files/original/Frenkel-NHK-3.pdf

Compositionality Journal
http://www.compositionality-journal.org/

Genus
https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)

Genus of a Curve
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Genus_of_a_curve

Falting's Theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem

Mordell Conjecture
http://mathworld.wolfram.com/MordellConjecture.html

Tate Conjecture
https://en.wikipedia.org/wiki/Tate_conjecture

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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Publicado el 1 de Septiembre, 2018, 15:27

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Sigo leyendo y comentando "The Arithmetic of Elliptic Curves" de Silverman. En el anterior post enuncié el teorema de Hasse-Minkowski, Tendría que corregir su enunciado: no trata sobre módulo p, sino sobre los campos p-ádicos Qp. Leo:

In other words, a quadratic polynomial has a solution in Q if and only if it has a solution in every completion of Q. Hensel’s lemma says that checking for solutions in Qp is more or less the same as checking for solutions in the finite field Z/pZ, and this is turn is easily accomplished using quadratic reciprocity. We summarize the steps that go into the Diophantine analysis of quadratic equations.

(1) Analyze the equations over finite fields [quadratic reciprocity].
(2) Use this information to study the equations over complete local fields Qp [Hensel’s lemma]. (We must also analyze them over R.)
(3) Piece together the local information to obtain results for the global field Q [Hasse principle].

Es interesante notar que la reciprocidad cuadrática surge asociada a campos finitos. De alguna forma, las cuadráticas están bien entedidas, gracias a resultados como los de arriba. Y cuando se quiere ir más allá, ahí aparecen en primer lugar las curvas elípticas:

Where does the geometry appear? Linear and quadratic equations in two variables define curves of genus zero. The above discussion says that we have a fairly good understanding of the arithmetic of such curves. The next simplest case, namely the arithmetic properties of curves of genus one (which are given by cubic equations in two variables), is our object of study in this book. The arithmetic of these so-called elliptic curves already presents complexities on which much current research is centered. Further, they provide a standard testing ground for conjectures and techniques that can then be fruitfully applied to the study of curves of higher genus and (abelian) varieties of higher dimension.

Este es un punto a destacar: el genus. Por un lado, podemos leer una definición orientada a geomtría algenbraica:

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Genus_of_a_curve

Pero es más interesante notar que genus tiene otros significados:

https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)

Para una curva algebraica, se relaciona con la superficie que forma EN LOS COMPLEJOS. Y como en las superficies reales,, el genus está relacionado con la cantidad de "agujeros" que presenta. Mientras que las cuadráticas tienen genus 0, las elípticas son las primeras con genus 1. Al no ser "tan regulares" cono las de genus 0, tienen otras propiedades. Mordell debe haber sido iuno de los primeros que tratar de clasificar esas propiedades. Ver la conjetura de Mordell:

http://mathworld.wolfram.com/MordellConjecture.html

probada por Faltings:

https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem

Como se llegó con esto a la solución del Ultimo Teorema de Fermat, es cuestión de otros posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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