Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 1 de Septiembre, 2018, 15:27

Anterior Post

Sigo leyendo y comentando "The Arithmetic of Elliptic Curves" de Silverman. En el anterior post enuncié el teorema de Hasse-Minkowski, Tendría que corregir su enunciado: no trata sobre módulo p, sino sobre los campos p-ádicos Qp. Leo:

In other words, a quadratic polynomial has a solution in Q if and only if it has a solution in every completion of Q. Hensel’s lemma says that checking for solutions in Qp is more or less the same as checking for solutions in the finite field Z/pZ, and this is turn is easily accomplished using quadratic reciprocity. We summarize the steps that go into the Diophantine analysis of quadratic equations.

(1) Analyze the equations over finite fields [quadratic reciprocity].
(2) Use this information to study the equations over complete local fields Qp [Hensel’s lemma]. (We must also analyze them over R.)
(3) Piece together the local information to obtain results for the global field Q [Hasse principle].

Es interesante notar que la reciprocidad cuadrática surge asociada a campos finitos. De alguna forma, las cuadráticas están bien entedidas, gracias a resultados como los de arriba. Y cuando se quiere ir más allá, ahí aparecen en primer lugar las curvas elípticas:

Where does the geometry appear? Linear and quadratic equations in two variables define curves of genus zero. The above discussion says that we have a fairly good understanding of the arithmetic of such curves. The next simplest case, namely the arithmetic properties of curves of genus one (which are given by cubic equations in two variables), is our object of study in this book. The arithmetic of these so-called elliptic curves already presents complexities on which much current research is centered. Further, they provide a standard testing ground for conjectures and techniques that can then be fruitfully applied to the study of curves of higher genus and (abelian) varieties of higher dimension.

Este es un punto a destacar: el genus. Por un lado, podemos leer una definición orientada a geomtría algenbraica:

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Genus_of_a_curve

Pero es más interesante notar que genus tiene otros significados:

https://en.wikipedia.org/wiki/Genus_(mathematics)

Para una curva algebraica, se relaciona con la superficie que forma EN LOS COMPLEJOS. Y como en las superficies reales,, el genus está relacionado con la cantidad de "agujeros" que presenta. Mientras que las cuadráticas tienen genus 0, las elípticas son las primeras con genus 1. Al no ser "tan regulares" cono las de genus 0, tienen otras propiedades. Mordell debe haber sido iuno de los primeros que tratar de clasificar esas propiedades. Ver la conjetura de Mordell:

http://mathworld.wolfram.com/MordellConjecture.html

probada por Faltings:

https://en.wikipedia.org/wiki/Faltings%27s_theorem

Como se llegó con esto a la solución del Ultimo Teorema de Fermat, es cuestión de otros posts.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
http://twitter.com/ajlopez