El teorema de Noether, probado en 1915, publicado en 1918 junto con otro teorema, tiene un cualidad: consigue aunar distintos aspectos de la matemática y de la física, de los siglos XIX y XX, de una forma tan particular, que su estudio termina derivando en la comprensión de otros temas, desde teorías de relatividad a cuántica, desde campos hasta teorías gauge, y así.

De esta forma, su estudio es como una excusa para sumergirse en funciones, funcionales, lagrangianos, hamiltonianos, acciones, principio de minima acción, corrientes conservadas. Quería compartir en esta serie de posts algunas notas sobre el tema.

También espero poder compartir notas biográficas sobre Emmy Noether, que tanto hizo por el avance de las matemáticas abstractas (desde teoría de invariantes, a anillos e ideales). Siendo mujer, entre los siglos XIX y XX, no le fue fácil integrarse al mundo académico, pero hoy es reconocida no solo por el teorema que nos ocupa, sino por sus avances en matemáticas, especialmente en algebra conmutativa.

Mi primera referencia para compartir, es el libro "Emmy Noether's Wonderful Theorem" de Dwight E, Neuensshwander. El autor describe al principio un panorama del libro, de los temas que trata. Y una de los más interesantes aportes iniciales, es dar una lista de preguntas primarias:

What is "symmetry"
What is "invariance"
What are "conservation laws"
Who was "Noether" of Noether"s theorem?
How are symmetry, invariance, and conservation laws related?
What are Lagrangians and Hamiltonians? Which is more
fundamental?
What are generalized coordinates and their velocities?
What are "canonically conjugate" variables?
What are continuous symmetries?
What are discrete symmetries?
What are "tensors"?

Luego añade preguntas auxiliaries

What is "gauge invariance"
What is "minimal coupling"
What are "covariant derivatives"
What is the role of Hamilton—]acobi theory?
What is the "]acobian" of a transformation?
What is "phase space"? Why does anyone care?
Why are complex variables used to describe wave functions?
Why is the Lagrangian for mechanics kinetics minus potential energy?
What are "unitarity" and "Hermitian" operators? Why do we need them?
Why does Noether"s theorem consider only infinitesimal transformations?
Where does Hamilton"s principle come from? Is it related to Fermat"s principle?
Why do the Lagrangians of complex scalar fields drop the factor of 1/2 that appears with real scalar fields?
Why do we need two kinds of vector in spacetime, some with
upper indices and some with lower indices?
What are "equations of continuity" and how do they describe
conservation locally?
What are the symmetry groups SU(N) and why are they used?
How can "space inversion" be relevant to the real world?
Are positrons really electrons going backward in time?

Ya solamente leyendo estas preguntas, temenos una idea de lo profundo que pueden ser los temas que abarca tratar de comprender estos teoremas de Noether. Notablemente, la fama del teorema se acrecentó con el tiempo: al comienzo, solo captó la atención de especialistas, como el propio Einstein. Fue con los años, con la aparición de nuevas teorías de campos, más allá del electromagnetismo clásico, que los aportes de Emmy Noether cobraron mayor difusion e importancia.

Algunos post relacionados:

Notas sobre Lagrangianos y Hamiltonianos (serie)
Simetría, primeros pasos
Ideales en Anillos

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
http://www.ajlopez.com
https://twitter.com/ajlopez