Angel "Java" Lopez en Blog

Publicado el 17 de Agosto, 2020, 13:05

En estos días de aislamiento en Buenos Aires, mi rutina de lecturas cambió, pero poco. Sigo leyendo bastante sobre temas de matemáticas, quizás ahora con mayor concentración y empeño. Podría escribir posts por cada tema leído, pero prefiero ahora escribir brevemente para no olvidarme de temas ni de fuentes.

En la semana pasada, volví a visitar el excelente "The  Princeton Companion to Mathematics" editado por Timothy Gowers (ya mencioné el libro en ¿De qué tratan las matemáticas?). Esta vez, me sumergí en su parte II The Origins of Modern Mathematics.

El primer artículo de esa parte es: From Numbers to Number Systems, escrito por Fernando Q. Gouvêa.  Es un tema que me interesa, si leyeron artículos de este blog: los "fields" de números, que aparecen tanto en la teoría de Galois como en algebra conmutativa (preludio a geometría algebraica), teoría de números algebraicos y temas relacionados. La historia de la idea de número es una construcción en el tiempo de los naturales, enteros, reales (que ya encontraron los griegos en forma controversial con la inconmensurabilidad de la raíz cuadrada de dos) y la larga lucha para aceptar los números complejos. Bien, este artículo nos lleva desde la antigüedad a las estruturas de campo en el siglo XX. Es interesante ver las fracciones egipcias (solo admitían el 1 como numerados, idea que encontré hace décadas en un libro elemental de Vinogradov (parece que aceptaban el 2/3 también) y los sistemas babilónicos, basados en posición pero con base 60. Todo parecía poder expresarse en números, hasta que los griegos (al menos los primeros de los que temenos noticia) vieron que las longitudes "no son números ni razones de números" (para ellos, una fracción no es un número). El autor luego comenta la aparición de la base 10 en India con nueve dígitos y posición (aun sin el cero).

Al llegar en Europa la edad media y el renacimiento, poco a poco se fue forjando el concepto de número, incluyendo las fracciones. Y si bien los números negativos se tomaban como "no números" no dejaron de tener influencia en sociedades comerciales, para representar el concepto de deuda.  El sistema decimal fue promovido por Stevin, matemático, físico e ingeniero militar, quien escribió De Thiende (podría traducir como El Décimo). Usó el sistema de posición aún para las fracciones, y tuvo la idea de que aún las longitudes se pueden expresar de esta manera, lo mismo las raíces cuadradas, cúbicas, etc (tendría que escribir alguna vez sobre sus ideas en física, por ejemplo, una demostración de la no existencia de movimiento perpetuo, y nuevas aproximaciones a la estática de Arquímedes).

Si bien de esta manera se incluían soluciones reales, había problemas que planteaban otro tipo de soluciones, que se les llamó ficticias o imaginarias, como la raíz cuadrada de un número negative. Es larga la historia de esta incorporación de los números complejos a la matemática. Habría para nombrar a varios matemáticos (Tartaglia, dal Ferro, Cardano, …) pero recuerdo ahora a Bombelli, que escribió un Algebra, notablemente en italiano. Y además, con un estilo de investigación, como desarrollando sus ideas, sus problemas y soluciones encontradas, en vez de acudir a solo teoremas.

El tema es que el estudio de las soluciones de polinomios se vió completada (y en manera armónica) cuando se aceptaron los números complejos, cosa que no ocurrió completamente hasta bien avanzado el siglo XIX. Gauss es uno de los primeros que los usa, como enteros. Abel y Galois, precedidos por Lagrange y otros, se enfrentan a la quíntica (solución de polinomio de quinto grado). Se especifican los números irracionales, pero también los trascendentes, con Lambert, Liouville. Cantor muestra que la mayor parte de los números reales son en realidad trascendentes. Hamilton descubre los cuaterniones, primer "sistema" de números que no cumple con la conmutatividad de la multiplicación. En semanas, son seguidos por los octoniones.

Pero hay un tema que descubrí en este artículo: fue la aparición de los números p-ádicos de la mano de Kurt Hensel, el que motívó la creación de una teoría de campos ("fields"). Eran los primeros números que no eran una extension de los ya conocidos. Fue Ernst Steinitz el que formalizó el concepto de "field" y creó su teoría abstracta, ya en el siglo XX. Esta y otras estructuras fueron estudiadas, en especial por Emmy Noether. No olvidemos la aparición del Algebra Moderna de van der Waerden.

Dejo para próximo post, seguir exponiendo la lectura de este volumen y de otros libros, mencionados en la bibliografía de cada artículo.

Nos leemos!

Angel "Java" Lopez
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